第六章 分级练(38) 数列求和（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(38)　数列求和 分级一　提能强化 1．(2023·江苏扬州中学模拟)已知正项递增的等比数列{an}满足a1＋a3＝30，a2＝9. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}为正项递增等比数列，所以q>1， 又∵a1＋a3＝30，a2＝9，∴解得或(舍去). 所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n. (2)由(1)知an＝3n， 所以bn＝－， 所以 所以{bn}的前n项和为－. 2．(2022·湖南邵阳二中模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝3an－2an－1(n≥2). (1)求证：{an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{(－1)nan}的前2n项和S2n. (1)证明：∵an＋1＝3an－2an－1(n≥2)， ∴数列{an＋1－an}为首项是2，公比是2的等比数列． (2)解：结合(1)得an＋1－an＝2×2n－1＝2n(n≥1)，所以数列{(－1)nan}的前2n项和S2n满足：S2n＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋(－a5＋a6)＋…＋(－a2n－1＋a2n)＝21＋23＋25＋…＋2(2n－1)＝. ∴数列{(－1)nan}的前2n项和S2n＝(4n－1). 3．(2022·山东德州教育科学研究院三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn－n＝(an＋1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn； (2)设bk＝(k∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<(n∈N*). (1)解：由Sn－n＝(an＋1)，得Sn＋1－(n＋1)＝(an＋1＋1)(n∈N*)， 两式相减可得an＋1＋an＝2， 因为a1＝3，得a2＝－1，数列{an}为3，－1，3，－1，3，－1，3， 即an＝k∈N*. 当n为偶数时，Sn＝[3＋(－1)]＝n； 当n为奇数时，Sn＝[3＋(－1)]＋3＝n＋2. 所以Sn＝k∈N*. (2)证明：由bk＝(k∈N*)，则有bn＝＝＝(－)， 所以Tn＝(－＋－＋－)，Tn＝(－)<. 4．(2022·山东泰安二模)已知数列{an}单调递增，其前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝＋n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3－1，求数列{bn}的前n项和为Tn. 解：(1)因为Sn＝＋n，所以当n≥2时，Sn－1＝＋n－1， 所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝＋1＝an，整理得(an－2)2＝a， 因为数列{an}单调递增，且a1＝2，所以当n≥2时，an－2>0，an－1>0， 所以当n≥2时，an－2＝an－1，即an－an－1＝2， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以an＝2＋2(n－1)＝2n. (2)bn＝2n·3n－1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n)－n， 设Bn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，则3Bn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1， 所以－2Bn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝(－n)3n＋1－， 所以2Bn＝(n－)3n＋1＋， 所以Tn＝2Bn－n＝(n－)3n＋1－n＋. 分级二　知能探究 5．(2023·河北衡水模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝4an－4，数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝an，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，且数列{cn}的前n项和为Tn，若k>Tn恒成立，求常数k的最小值． 解：(1)由2Sn＝4an－4，得n＝1时，a1＝2； 当n≥2时，2Sn－1＝4an－1－4，两式相减得2an＝4an－4an－1，∴＝2， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2n. 由b1＝a1，bn＋1－bn＝2n，n∈N*，a1＝2，得b2－b1＝2，b3－b2＝22，…，bn－bn－1＝2n－1， 累加得bn－b1＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝＝2n－2，∴bn＝2n，n∈N*. (2)由(1)得cn＝＝＝－， ∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－＋－＋…＋－＝－<， ∴k≥，即常数k的最小值为. 6．(2023·湖南长沙学模拟)已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a14＝3a5，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3bn－1. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝an·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，且Tn－n·3n<(－1)n·m对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．