第五章 分级练(31) 平面向量的概念与线性运算（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(31)　平面向量的概念与线性运算 分级一　提能强化 1. (2020·新高考 Ⅱ 卷)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A．2－ B．2－ C．2＋ D．2＋ A　解析：∵D为△ABC的边AB的中点， ∴＝(＋)，∴＝2－. 2. (多选)(2022·河北邯郸一模)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则(　　) A．＝2 B．＋＋＝0 C．－＋＝ D．·＝· BD　解析：结合正六边形的性质可知，对于选项A，＝2，故A错误；对于选项B，＋＋＝＋＝0，故B正确；对于选项C，－＋＝＋＝，故C错误；对于选项D，·＝·，故D正确． 3. (2023·重庆育才中学高三开学考试)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　) A．－＋ B．＋ C．＋ D．－ B　解析：由题可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(－＋＋)＝＋. 4．(2022·山东潍坊三模)已知a，b是平面内两个不共线的向量，＝a＋λb，＝μa＋ b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是(　　) A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2 C．λμ＝1 D．＝1 C　解析：由A，B，C三点共线的充要条件是＝m且m∈R，所以故λμ＝1. 5．(2022·山东肥城教学研究中心模拟)在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量＝(　　) A．＋ B．－ C．＋ D．－ B　解析：如图所示，根据平面向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－. 6．(2023·山东泰安模拟)已知向量m，n不共线，向量＝5m－3n，＝xm＋n，若O，A，B三点共线，则x＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：因为O，A，B三点共线，则∥， 所以∃λ∈R，＝λ，即xm＋n＝λ(5m－3n)， 整理得(5λ－x)m＝(3λ＋1)n， 又∵向量m，n不共线，则5λ－x＝3λ＋1＝0，则λ＝－，x＝－. 7．(2022·湖南岳阳一中一模)已知在平面四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝135°，∠BCD＝90°，＝＋(λ－1)，则λ＝(　　) A．1或 B． C．＋1 D．＋2 D　解析：＝＋(λ－1)⇒－＝＝(λ－1)，所以∥，即BC∥AD，所以四边形ABCD是直角梯形， 如图，作AE⊥BC于E，则四边形AECD是矩形，AB＝2，∠ABC＝45°， 则AE＝BE＝，EC＝AD＝1，所以BC＝＋1， 即＝(＋1)，又＝(λ－1)， 所以λ－1＝＋1，λ＝＋2. 8．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________. 答案：平行四边形　解析：由＋＝＋得－＝－，即＝，所以四边形ABCD为平行四边形． 9.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________． 答案：3　解析：＝＋＝＋2＝＋2(－)， 又＝＋＝＋， ∴＝＋2(＋－)， 即＝＋，∴s＝，r＝， ∴2r＋3s＝2×＋3×＝3. 分级二　知能探究 10.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b C　解析：由题得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)， 解得＝＋，即＝a＋b. 11．(2021·广东佛山模拟)2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成．已知风机的每个叶片长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔(杆)的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图所示，则|＋＋|的最小值为(　　) 　　 A.40 B．20 C．20 D．80 A　解析：由题知，＋＋＝0，即＋＝，则＋＋＝，则当叶片旋转到最低点时，||最小，且最小值为60－20＝40. 12.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________. 答案：[3，4]　解析：如图所示，当P在△CDE内时，作直线FB，与直线FB平行的最近的线是直线EC，过D点与直线FB平行的线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]. 13．已知向量＝a，＝b，P1，P2，…，Pn－1(n∈N，n>1)是线段AB上依次从A到B排列的n等分点，若O