第五章 分级练(33) 平面向量的数量积及综合应用（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(33)　平面向量的数量积及综合应用 分级一　提能强化 1．(2022·福建福州三模)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 A　解析：由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，则b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝－3b2＝－3. 2．(2023·江苏高邮中学高三开学考试)已知＝(1，3)，＝(3，m)，·＝2，则||＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 B　解析：因为＝－＝(2，m－3)，则·＝2＋3(m－3)＝2，则m＝3，所以＝(2，0)，则||＝2. 3．(2023·广东惠州高三模拟)已知向量a＝(2，2)，向量e＝(，).则向量a在向量e上的投影向量为(　　) A．(，3) B．(－，1) C．(1，) D．(，) A　解析：a在e上投影向量a＝·e＝·e＝2(，)＝(，3). 4．(2022·湖北鄂南高中模拟)已知a＝(m，1)，b＝(2，6＋m)，a⊥b，则|a|＝(　　) A． B． C． D．3 B　解析：由题意，∵a＝(m，1)，b＝(2，6＋m)，a⊥b，∴a·b＝2m＋6＋m＝0，解得m＝－2，故|a|＝＝. 5．(2022·广东广州三模)(多选)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A．a·b＝5 B．|a－b|＝ C．〈a，b〉＝ D．a∥b ABC　解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，A正确；a－b＝(2，1)，|a－b|＝＝，B正确；|a|＝＝，|b|＝＝，则cos 〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，C正确；3×(－2)－(－1)×1＝－5，D错误． 6．(2023·江苏南京中华中学模拟)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，B＝60°，P为边AC上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[0，3] B．[1，3] C．[6，9] D．[3，9] D　解析：依题意||＝3，||＝2，||cos B＝1，由于P是边AC上的动点，所以0°≤∠PBC≤60°，≤cos ∠PBC≤1，所以||×≤||cos ∠PBC≤||×1，即1≤||cos ∠PBC≤3，所以·＝||·||·cos ∠PBC∈[3，9]. 7．(2023·广东梅州模拟)已知△ABC是边长为a的等边三角形，P为平面ABC内的一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2a2 B．－a2 C．－a2 D．－a2 B　解析：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0)，设P(x，y)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，所以·(＋)＝－x·(－2x)＋(a－y)·(－2y)＝2x2－ay＋2y2＝2x2＋2(y－a)2－a2；所以当x＝0，y＝a时，·(＋)取得最小值是－a2. 8. (2022·广东茂名二模)已知向量a＝(t，2t)，b＝(－t，1)，若(a－b)⊥(a＋b)，则t＝________. 答案：±　解析：因为(a－b)⊥(a＋b)，所以(a－b)·(a＋b)＝0，所以a2－b2＝0，则|a|＝|b|，所以t2＋4t2＝t2＋1，所以t＝±. 9．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 答案：11　解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11. 10. (2023·山东临沂模拟)如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是____________． 答案：8　解析：设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，于是·＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8.当且仅当x＝y＝时，等号成立． 分级二　知能探究 11．(多选)(2023·湖南宁乡教育研究中心模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，t)，c＝(6，2)，则(　　) A．若a⊥b，则t＝－6 B．若a∥b，则t＝－6 C．若t＝－6，则c＝5a＋3b D．若t＝－6，则c＝2a＋b AD　解析：对A，若a⊥b，则a·b＝2×(－3)＋(－1)·t＝0，可解得t＝－6，A正确；对B，若a∥b，则 (－3)×(－1)－2t＝0，可解得t＝，B错误；对C，D，t＝－6，设c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(2m－3n，－m－6n)，则解得故C错误，D正确． 12. (多选)(2