第三章 分级练(21) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(21)　利用导数证明不等式 分级一　提能强化 1．(2022·河北沧州二模)已知函数f(x)＝，a∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：xf(x)＋e－x>－a. (1)解：函数f(x)＝＝ln x－，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝， ①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，无单调递减区间； ②当a<0时，－a>0，x∈(0，－a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，－a)，单调递增区间为(－a，＋∞). (2)证明：由(1)知，当a＝－1时，f(x)＝ln x＋，且f(x)≥f(1)＝1，所以x ln x＋1≥x， 因为f(x)＝，所以不等式xf(x)＋e－x>－a等价于x ln x＋e－x>0， 令g(x)＝x＋e－x－1，则g′(x)＝1－e－x＝>0在x>0时恒成立， 所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，又x ln x＋1≥x，所以x ln x＋e－x≥x－1＋e－x>0， 故x ln x＋e－x>0，即xf(x)＋e－x>－a. 2．(2023·山东临沂期末)已知函数f(x)＝a ln x＋x＋＋2a(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若0＜a＜，求证：f(x)＜x＋. (1)解：函数f(x)＝a ln x＋x＋＋2a的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋1－＝. 对于方程x2＋ax－2＝0，Δ＝a2＋8＞0，解方程x2＋ax－2＝0， 可得x1＝＜0，x2＝＞0. 当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞). (2)证明：要证明f(x)＜x＋，即证x＋a ln x＋＋2a＜x＋，即证a(ln x＋2)＜，即证＜. 令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝. 当0＜x＜2时，g′(x)＜0，此时函数g(x)单调递减；当x＞2时，g′(x)＞0，此时函数g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(2)＝. 构造函数h(x)＝，其中0＜a＜，x＞0， 则h′(x)＝－. 当0＜x＜时，h′(x)＞0，此时，函数h(x)单调递增；当x＞时，h′(x)＜0，此时，函数h(x)单调递减． 所以h(x)max＝h()＝ae＜， 则h(x)max＜g(x)min，所以＜. 故原不等式得证． 3．(2022·山东肥城教学研究中心模拟)已知函数f(x)＝ex－a－ln x＋a. (1)若x＝2是f(x)的极值点，求f(x)的值域； (2)当a≤0时，证明：f(x)>a＋2. (1)解：∵f′(x)＝ex－a－，x＝2是f(x)的极值点， ∴f′(2)＝e2－a－＝0，解得a＝2＋ln 2. 经检验a＝2＋ln 2符合题意． ∴函数f(x)＝ex－2－ln 2－ln x＋2＋ln 2，其定义域为(0，＋∞). ∵f′(x)＝ex－2－ln 2－＝. 设g(x)＝xex－2－ln 2－1，则g′(x)＝xex－2－ln 2＋ex－2－ln 2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又∵g(2)＝0，所以当x>2时，g(x)>0，即f′(x)>0; 当0<x<2时，g(x)<0，即f′(x)<0. 所以f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数； 因此f(x)的最小值为f(2)＝，∴f(x)的值域为[，＋∞). (2)证明：要证f(x)>a＋2，即证ex－a－ln x>2，设F(x)＝ex－a－ln x，x>0，即证F(x)>2. 当a≤0，F(x)＝ex－a－ln x，F′(x)＝ex－a－＝在(0，＋∞)上为增函数，且h(x)＝xex－a－1中， h(0)＝0×e0－a－1＝－1<0，h(1)＝e1－a－1>e－1>0. 故F′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x0，且x0∈(0，1). 当x∈(0，x0)时，F′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)>0， 从而当x＝ x0时，F(x)取得最小值． 由F′(x0)＝0，得＝， 故F(x)≥F(x0)＝－ln x0＝＋x0－a>2－a≥2. 综上，当a≤0时，F(x)>2，即f(x)>a＋2. 4．(2023·山东滨州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋a，g(x)＝xex－2x. (1)若x＝3是函数f(x)的极值点，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数y＝f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，证明：f(x)≤g(x)在(0，＋∞)上恒成立． (1)解：f′(x)＝－a，由f′(3)＝－a＝0，得a＝. ∴f