第十章 课时作业(58) 两个计数原理、排列与组合（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(五十八)　两个计数原理、排列与组合 [基础保分练] 1．某项工程的网络图如图所示，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有(　　) A．14条 B．12条 C．9条 D．7条 B 　解析：由题图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12(条)路径． 2．(2023·烟台调研)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形共有(　　 ) A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 C　解析：3局定胜负，有2种情形；4局定胜负，有2C＝6种情形；5局定胜负，有2C＝12种情形．共有2＋6＋12＝20(种)情形． 3．(2023·西安模拟)宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…，依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中矩形的个数为(　　) A．3 025 B．2 025 C．1 225 D．2 525 A　解析：要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C·C＝3 025. 4．(2023·山东潍坊调研)从6名男生2名女生共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为(　　) A．420 B．660 C．840 D．880 B　解析：从6名男生2名女生共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共用AC＝840(种)选法，其中不含女生的有AC＝180(种)选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840－180＝660. 5．(2023·四川乐至中学月考)某研发机构依次研发六项不同的产品，其中产品a必须排在后三位，产品b，c必须排在一起，则这六项产品的不同安排方案共有(　　) A．120种 B．156种 C．210种 D．226种 A　解析：当b，c排在前三位时共有CAAA＝72(种)，当b，c排在后三位时共有AAA＝24(种)，当b，c排在3，4位时共有ACA＝24(种)，所以这六项产品的不同安排方案共有72＋24＋24＝120(种). 6．(多选)(2023·济宁模拟)下列等式正确的有(　　 ) A．A＋mA＝A B．nC＝mC C．C＋C＋C＋…＋C＝C D．C＋C＋C＋…＋C＝22 022 ACD　解析：对于A，A＋mA＝＋m· ＝＋ ＝＝A，选项A正确； 对于B，nC＝n· ＝· ＝·C≠mC，选项B错误； 对于选项C，C＋C＋C＋…＋C ＝(C＋C)＋C＋…＋C ＝(C＋C)＋C＋…＋C ＝(C＋C)＋…＋C ＝…＝C＋C ＝C＝C，选项C正确； 对于D选项，二项式(a＋b)n(n∈N＋)的展开式的二项式系数和等于2n，选项D正确． 7．(多选)(2023·湖南长郡中学月考)现有4个编号为1，2，3，4不同的球和4个编号为1，2，3，4不同的盒子，把球全部放入盒内．则下列说法正确的是(　　 ) A．恰有1个盒不放球，共有72种放法 B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种 C．有2个盒内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种 D．恰有2个盒不放球，共有84种放法 BCD　解析：对于A，恰有1个盒不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球， 则CCA＝144≠72，故A不正确； 对于B，编号为1的球有C种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确； 对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有CC＝36(种)，故C正确； 对于D，恰有2个盒不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3，1或2，2两种情况，放入盒子，共有C(CC＋C)＝6×14＝84(种)，故D正确． 8．(2023·湖南衡阳模拟)3个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至多放1个小球，共有________种放法． 答案：24　解析：分三步来完成： 第一步，放第一个小球，有4种放法， 第二步，放第二个小球，有3种放法， 第三步，放第三个小球，有2种放法， 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)放法． 9．(2023·上海模拟)第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天．若有4位学者分别做大会个人报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为_______．(用数字作答) 答案：360　解析