第十章 课时作业(64) 高考中的统计概率问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(六十四)　高考中的统计概率问题 [基础保分练] 1．(2022·江西萍乡模拟)2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表： 男生 女生 总计 90分钟以上 80 x 180 90分钟以下 y z 220 总计 160 240 400 (1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？ (2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率． 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)x＝100，y＝80，z＝140. 因为χ2＝＝≈2.69＜3， 所以没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关． (2)9人中男生4人，女生5人． 记“男生人数大于女生为事件A”， 则P(A)＝＋＝＝. 2．(2022·江苏南京模拟)某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在[60，150])，按下列分组[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]作出频率分布直方图．如图，样本中分数在[70，90)内的所有数据是：72，75，77，78，81，82，85，88，89. 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表． 分数 [60，80) [80，120) [120，150) 可能被录取院校层次 专科 本科 自招 (1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率； (2)在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：(1)由题意知分数在[70，80)的学生有4名，分数在[80，90)的学生有5名， 由题图可知，分数在[70，80)的频率为0.008×10＝0.08，则n＝＝50， 所以x＝＝0.01， y＝＝0.014， 样本中可能被专科院校录取的人数为50×(0.004＋0.008)×10＝6. 抽取的50人中，可能被专科院校录取的频率是＝， 所以从该校高三年级学生中任取1人可能被专科院校录取的概率. (2)选取的样本中可能被专科院校录取的人数为6， 可能被自招院校录取的人数为50×(0.012＋0.008＋0.004)×10＝12， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 所以P(ξ＝0)＝＝＝；P(ξ＝1)＝＝＝； P(ξ＝3)＝＝＝；P(ξ＝4)＝＝＝. ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 生中为专科的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 3．(2022·山东胶州模拟)阿根廷球员马拉多纳是20世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达90%与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动． (1)受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数y(单位：人)如下表： 轮次x 1 3 4 5 7 观看的人数y 1 300 3 300 4 200 5 200 7 000 现建立该地区观看球赛的人数y与轮次x的线性回归模型：＝－b.根据该模型预测从第几轮次开始该地区观看球赛的人数y超过10 000人？ (2)为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛．求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率． 附：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式和参数数据：＝＝，＝－，iyi＝103 000. 解：(1)由已知可得，＝＝4，＝4 200， iyi＝103 000，＝12＋32