第十章 课时作业(62) 离散型随机变量的分布列及数字特征（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(六十二)　离散型随机变量的分布列及数字特征 [基础保分练] 1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 C　解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2. 2．(2023·广东仲元中学月考)若随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a b a 则X的均值EX等于(　　 ) A．2a＋b B．a＋2b C．2 D．3 C　解析：EX＝1×a＋2×b＋3×a＝2(2a＋b)， 由分布列的性质可知2a＋b＝1，所以EX＝2. 3．(2023·山东日照实验中学月考)已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P a 则E(2X＋a)等于(　　 ) A． B． C． D． C　解析：由分布列的性质可得＋＋a＝1， 解得a＝，所以EX＝1×＋2×＋3×＝， 因此E(2X＋a)＝E＝2EX＋＝2×＋＝. 4．(2022·浙江宁波三模)已知随机变量ξ1和ξ2的分布列如下： ξ1 0 5 10 p 0.33 0.34 0.33 ξ2 1 4 7 p 0.01 0.98 0.01 则有(　　) A．Eξ1> Eξ2，Dξ1> Dξ2 B．Eξ1< Eξ2，Dξ1< Dξ2 C．Eξ1> Eξ2，Dξ1< Dξ2 D．Eξ1< Eξ2，Dξ1> Dξ2 A　解析：根据分布列可得Eξ1＝0×0.33＋5×0.34＋10×0.33＝5，Eξ2＝1×0.01＋4×0.98＋7×0.01＝4， Dξ1＝(0－5)2×0.33＋(5－5)2×0.34＋(10－5)2×0.33＝16.5， Dξ2＝(1－4)2×0.01＋(4－4)2×0.98＋(7－4)2×0.01＝0.18， ∴ Eξ1> Eξ2，Dξ1> Dξ2. 5．(2023·南平模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查： A品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析(　　 ) A．不更换设备 B．更换为A设备 C．更换为B设备 D．更换为A或B设备均可 C　解析：设更换为A品牌设备使用年限为X， 则EX＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更换为A品牌设备年均收益为3×100－60＝240(万元)； 设更换为B品牌设备使用年限为Y， 则EY＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为B品牌设备年均收益为3.7×100－90＝280(万元).280>240，所以更换为B品牌设备． 6．(多选)(2023·永州模拟)已知<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(　　 ) X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 A．P(X＝2)的值最大 B．P(X＝0)<P(X＝1) C．EX随着p的增大而减小 D．EX随着p的增大而增大 BD　解析：当p＝时，P(X＝2)＝， P(X＝1)＝1－＝>，A错误； 因为<p<1， 所以p－p2＝p(1－p)<1－p， 即P(X＝0)<P(X＝1)，B正确； EX＝1－p＋2p2＝2＋， 因为<p<1，所以EX随着p的增大而增大，C错误，D正确． 7．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，EX＝，则D(2X－1)＝________． 答案：　解析：由题意知：1×＋a×＝，解得a＝2， ∴DX＝×(1－)2＋×(2－)2＝， ∴D(2X－1)＝4DX＝. 8．已知箱子中装有10个不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差Dξ＝__________． 答案：　解析：由题可得，ξ的所有可能取值分别为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝， 所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 所以Dξ＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 9．新年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸