第八章 课时作业(49) 抛物线（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(四十九)　抛物线 [基础保分练] 1．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 B　解析：焦点F为(，0)，由点到直线的距离公式可得＝，所以＋1＝2，p＝2. 2．(2023·广州模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 D　解：由题意知，抛物线的焦点坐标为， 椭圆的焦点坐标为(±，0)， 所以＝，解得p＝8. 3．(2023·河南洛阳月考)抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为(　　) A．6 B．8 C．4 D．12 A　解析：抛物线C的准线方程为y＝－2，设点P(x0，y0)，由抛物线的定义可得|PF|＝y0＋2＝8，解得y0＝6，因为点F(0，2)，故点M(，4)，因此，PF的中点M到C的准线l的距离为4＋2＝6. 4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 C　解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，又焦点F(，0)， 所以x1＋x2＋x3＝3×＝， 则||＋||＋|| ＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋) ＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3. 5．(多选)(2023·烟台调研)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0，4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) ACD　解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A. 由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误．故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6， 由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6， 故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C正确，而|ON|＝＝8， S△ONF＝×8×4＝16，D正确． 6．(2020·新高考Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：　解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)， 联立方程，得 得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝， 故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝. 7．(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，C焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________． 答案：5　4　 解析：由题意得点F(1，0)， 设点M(x，±2)，则|FM|＝x＋1＝6， 解得x＝5.易得点M(5，±2)，N(5，0)， 从而S△FMN＝(xN－xF)·MN＝×4×2＝4. 8．(2023·重庆八中月考)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 答案：2　解析：建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0). 由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1， 故x2＝－2y. 设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米. 9．(2023·广东东莞模拟)已知双曲线C1：－＝1，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，若A，B是抛物线C2上的两点，且|AF|＋|BF|＝8，则AB中点的横坐标为________． 答案：2　解析：由题意可得4－2m＞0，即m＜2， 因为c2＝m2＋1＋4－2m＝(m－1)2＋4， 所以当m＝1时，焦距2c取得最小值， 所以双曲线C1的右焦点为(2，0)， 即抛物线C2的焦点为(2，0)， 所以＝2，即p＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝8，解得x1＋x2＝4， ∴线段AB中点的横坐标为2. 10．(2023·云南昆明模拟)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点． (1)求C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝13，求k的值． 解：(1)因为M(p，p－1)是抛物线C上的点， 所以p2＝2p(p－1)， 因为p＞0，所以p＝2，因此抛物线C的方程