第八章 课时作业(48) 双曲线（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(四十八)　双曲线 [基础保分练] 1．(2023·河北保定模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 D　解析：由题意得2＝，解得m＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 2．(2023·福建三明一中模拟)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　解析：根据双曲线的定义， 得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6， 所以||PF2|－3|＝6， 所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去). 3．(2023·浙江瑞安中学模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线实轴长为(　　) A．2 B．1 C． D．2 A　解析：由题意知，渐近线方程为y＝±x，则＝，又焦点为F(2，0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或a＝－1(舍去)，所以该双曲线实轴长为2a＝2. 4．(多选)(2023·浙江学军中学模拟)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 ABC　解析：因为a2＝16， 所以a＝4，2a＝8，故A正确； 因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为 y＝±x＝±x，故B正确； 因为c＝＝＝5， 所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，焦点(5，0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝3，故C正确； 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误． 5．(2022·山东济南模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．14 B．7 C．15 D．5 C　解析：设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos ∠F1PF2＝＝－，故sin ∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积为×10×6×＝15.故选C. 6．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 ACD　解析：当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为 的圆，故B错误；当m＞0，n＜0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x；当m＜0，n＞0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x，故C正确；当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确． 7．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)　(0，1)　解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，所以k＜－1或k＞2；当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1. 8．(2020·北京卷)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________． 答案：(3，0)　　解析：由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即x－y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝. 9．(2023·山东泰安模拟)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为__________． 答案：x±y＝0　解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0. 10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． 答案：　解析：如图，由题意知