第八章 课时作业(47) 直线与椭圆（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(四十七)　直线与椭圆 [基础保分练] 1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　) A．至多为1 B．2 C．1 D．0 B　解析：由题意知＞2，即＜2， ∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2. 2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　解析：设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k， 则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144， 两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k， 代入解得k＝－. 3．(多选)(2023·佛山模拟)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　) A．－1　　　 B．1　　　 C．－2　　　 D．2 AB　解析：由消去y并整理， 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝＝， 解得m＝±1，满足题意． 4．(多选)(2023·青岛模拟)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为 D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ BD　解析：对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A项不正确； 对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2， 所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确； 对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M， 则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确； 对于D项，若直线方程为y＝x＋2， 与椭圆方程＋＝1联立， 得2x2＋(x＋2)2－4＝0， 整理得3x2＋4x＝0， 解得x1＝0，x2＝－， 所以|AB|＝＝， 所以D项正确． 5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：kAB＝＝，kOM＝－1， 由kAB·kOM＝－，得＝， ∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，∴椭圆E的方程为＋＝1. 6．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是________． 答案：　解析：直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝＝，当y＝－时，弦长最大为. 7．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________． 答案：2　解析：不妨取直线MN⊥x轴， 椭圆＋y2＝1的左焦点F(－1，0)， 令x＝－1，得y2＝，所以y＝±， 所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，则＝＝2. 8．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 答案：8　解析：由椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|得，四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形． 设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m， 则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为 |PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8. 9.如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围． 解：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－， y0＝k(x0＋1)＝， 所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y