第八章 课时作业(54) 探索性问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(五十四)　探索性问题 [基础保分练] 1．(2023·山东日照期末联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(1，). (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为△BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，c＝1， 所以椭圆C：＋y2＝1. (2)由已知可得，B(0，1)，F(1，0)， ∴kBF＝－1，∵BF⊥l， 设直线l的方程为y＝x＋m， 代入椭圆方程整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵BN⊥MF，∴·＝－1， 即y1y2＋x1x2－y1－x2＝0， 因为y1＝x1＋m，y2＝x2＋m， 所以(x1＋m)(x2＋m)＋x1x2－(x1＋m)－x2＝0， 即2x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0， 所以2×＋(m－1)＋m2－m＝0. 整理得3m2＋m－4＝0，m＝－或m＝1. 又m＝1时，直线l过B点，不符合要求，所以m＝－. 故存在直线l：y＝x－满足题设条件． 2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，1)做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|＝3. (1)求椭圆E的方程； (2)当k变化时，在x轴上是否存在点M(m，0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)由已知椭圆过点(，1)， 可得解得a2＝9，b2＝4， 所以椭圆的E方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C(x0，y0)， 由得(4＋9k2)x2＋18kx－27＝0， 所以x0＝＝，y0＝kx0＋1＝. 当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程y＝－(x＋)＋， 将M(m，0)代入得m＝－， 若k＞0，则＋9k≥2＝12，所以－≤m<0； 若k＜0，则＋9k＝－≤－2＝－12， 所以0<m≤； 若k＝0，则m＝0. 综上所述，存在点M满足条件，m的取值范围是. 3．(2023·江苏苏州模拟)已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2x2－2y2＝1的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆C于不同两点A，B，且·＝0(O为坐标原点). (1)求椭圆C的方程； (2)讨论7m2－12k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)因为双曲线2x2－2y2＝1的焦点为(1，0)， 所以在椭圆C中c＝1， 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞0)， 由点P(0，)在椭圆C上得＝1， 解得a2＝4，即a＝2，则b＝＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)7m2－12k2为定值，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·＝0可知x1x2＋y1y2＝0， 联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0， 由Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0得，m2＜3＋4k2， x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(1＋k2)·－km·＋m2＝0， 可化简得 (1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋3m2＋4m2k2＝7m2－12k2－12＝0， 所以7m2－12k2为定值． [技能提分练] 4．(2022·山东淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2. (1)求实数m的值及抛物线C的标准方程； (2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由． 解：(1)由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm， 由抛物线的定义，得m＋＝2， 则解得 所以抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)由(1)得M(2，1)，设点A，B， 则kMA＝，kMB＝，所以kMAkMB＝×＝－2， 得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b， 有⇒x2－4kx－4b＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0， 得b＝2k＋9，所以直线AB方程为y＝kx＋2k＋9， 即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2，9)， 又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2，9)， 当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此