第六章 课时作业(31) 数列的概念（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(三十一)　数列的概念 [基础保分练] 1．(2023·广东东莞模拟)数列{an}＝{－1，3，－5，7，－9，…}的一个通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n) C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n＋1(2n－1) C　解析：∵数列{an}各项值为－1，3，－5，7，－9，…， ∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n－1，又∵数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴an＝(－1)n(2n－1). 2．(2023·山东临沂模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　) A． B． C． D． D　解析：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 3．(2023·广东东莞模拟)已知数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＋1＝(n∈N＋)，若a1＝，则T2 023为(　　) A.－4 B．－ C．－ D． C　解析：由an＋1＝，a1＝， 得a2＝，a3＝－4，a4＝－，a5＝，…， 所以数列{an}具有周期性，周期为4， 因为T4＝a1·a2·a3·a4＝1，2 023＝4×505＋3， 所以T2 023＝(a1a2a3a4)…(a2 021a2 022a2 023) ＝××(－4)＝－. 4．(多选)(2023·广东佛山质检)下列四个命题中，正确的有(　　) A．数列的第k项为1＋ B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1 D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列 ABD　解析：对于A，数列的第k项为1＋，A正确； 对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确； 对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误； 对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝＞0，因此数列{an}是递增数列，D正确． 5．(2023·广东梅州月考)某软件研发公司对某软件进行升级，主要是重新编辑软件程序中的序列A＝{a1，a2，a3，…}，编辑新序列为A*＝，它的第n项为，若序列(A*)*的所有项都是2，且a5＝1，a6＝32，则a1等于(　　) A． B． C． D． C　解析：设＝q，∵序列(A*)*的所有项都是2， ∴A*＝{q，2q，22q，…}，即＝2n－1q， ∵an＝···…··a1， ∴an＝2n－2q·2n－3q·…·q·a1＝2qn－1a1， ∴解得 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－n，则a4＝___________． 答案：13　解析：由题可知，Sn＝2n2－n，则a4＝S4－S3＝(2×42－4)－(2×32－3)＝13. 7．(2023·江苏泰州中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则an＝________． 答案：　解析：∵an＋1＝3Sn(n∈N＋)， ∴当n＝1时，a2＝3； 当n≥2时，an＝3Sn－1， ∴an＋1－an＝3an， 得an＋1＝4an， ∴数列{an}从第二项起为首项为3，公比为4的等比数列， 当n≥2时，an＝3·4n－2， 故an＝ 8．(2023·江苏南通模拟)已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________． 答案：5　解析：an＝，当n≤5时，an>1； 当n≥6时，an<1， 由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5. 9．已知数列{an}中，a1＝3，且n(n＋1)(an－an＋1)＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)由题意知，an－an＋1＝＝2(－)， 所以an＋1－＝an－， 所以an－＝an－1－＝…＝a1－＝3－2＝1(n≥2，n∈N*)，即an＝1＋.当n＝1时，也满足上式，所以an＝1＋. (2)由(1)知an＝1＋＝， 则a1·a2·…·an＝××…××＝， 所以bn＝＝＝－， 所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝2－. 10．(2023·江苏淮安模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋2－2an＋1＋an＝4，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；