第六章 课时作业(35) 高考中的数列问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(三十五)　高考中的数列问题 [基础保分练] 1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为(　　) A．978 B．557 C．467 D．979 A　解析：设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.∵cn＝an＋bn， ∴解得∴cn＝2n－1＋(1－n)， ∴{cn}的前10项和为＋＝978. 2．(2021·山东菏泽期末)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－1，若an∈(0，2 021)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的和为(　　) A．1 022 B．1 023 C．2 046 D．2 047 D　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，又a1＝S1＝2a1－1， ∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1，由an＝2n－1＜2 021得n－1≤10，即n≤11，∴所求和为S11＝＝2 047. 3．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，为明代著名的律学家、历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半音比例应该是2，如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是2F，第三个音的频率就是2F，第四个音的频率是2F，……，第十二个音的频率是2F，第十三个音的频率是2F，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为(　　) 4．(2023·华南师大附中月考)已知函数f(n)＝n2cos nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，n∈N*，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　) A．0 B．－100 C．100 D．10 200 B　解析：f(n)＝n2cos nπ＝(－1)n·n2＝由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 5．(2023·山东枣庄模拟)古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K之间的距离超过1.5 m，C与F之间的距离小于11 m，则该古建筑中A与B之间的距离可能是(参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)(　　 ) A．30.3 m B．30.1 m C．27 m D．29.2 m C　解析：设|AB|＝x，a≈0.618， 因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以有|BC|＝ax，|CF|＝a2x，|FG|＝a3x， |GJ|＝a4x，|JK|＝a5x，|KM|＝a6x. 由题设得 解得26.786<x<28.796，故选项C符合题意． 6．已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________． 答案：±1　解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列， ∴2a5＝4a1－2a3，即a5＝2a1－a3， ∴4q4＝8－4q2，∴q4＋q2－2＝0， ∴q2＝1或q2＝－2(舍去).∴q＝±1. 7．已知－1，a1，a2，－4成等差数列；－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为__________． 答案：－　解析：由－1，a1，a2，－4成等差数列，可得公差d＝＝－1，所以a1－a2＝1，又由－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，可得b＝－1×(－4)＝4，设等比数列的公比为q，可得b2＝－1×q2＜0，所以b2＝－2，所以＝－. 8．已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且a1，ak(k∈N*)，a6是等比数列{bn}的前3项． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{cn}的前20项的和． 解：(1)数列{an}是等差数列，设公差为d，且a1＝1，a4＝10， 则解得d＝3， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. 又因为a1，ak，a6是等比数列