第五章 课时作业(29) 平面向量的数量积及综合应用（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(二十九)　平面向量的数量积及综合应用 [基础保分练] 1．(2023·重庆八中月考)已知向量a＝(－1，4)，b＝(2，m)，若a⊥b，则a－2b＝(　　) A．(－5，20) B．(－5，－12) C．(－5，5) D．(－5，3) D　解析：由条件，a·b＝－2＋4m＝0，所以m＝，从而a－2b＝(－5，3). 2．向量a＝(1，x)，b＝(－2，1)，若a⊥b，则|2a＋b|＝(　　) A．2 B． C．3 D．5 D　解析：因为向量a＝(1，x)，b＝(－2，1)，a⊥b， 所以a·b＝1×(－2)＋x×1＝0，解得x＝2， 所以2a＋b＝(2，4)＋(－2，1)＝(0，5)， 所以|2a＋b|＝＝5. 3．(多选)(2023·江苏南京模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　) A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b≤|a|·|b| D．|a－b|≤|a|＋|b| ACD　解析：根据数量积的分配律可知A正确； B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确； 根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确； |a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确． 4．(2023·重庆一中月考)已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，点E在边AC上，且＝3，设AD与BE交于点P，则·＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 C　解析：由题意，如图所示， ∵·＝||||cos ∠PBC， 而||＝||cos ∠PBC， ∴·＝||||， 又△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点， ∴·＝||||＝2×4＝8. 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 C　解析：c＝，cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5，故选C. 6．设非零向量a，b的夹角为θ.若|b|＝2|a|，且(a＋2b)⊥(3a－b)，则θ等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B　解析：∵非零向量a，b的夹角为θ， |b|＝2|a|，且(a＋2b)⊥(3a－b)， ∴(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2 ＝3|a|2＋10|a||a|cos θ－8|a|2＝0， 解得cos θ＝，∴θ＝60°. 7．(2023·山东济宁模拟)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A．－ B． C． D．1 B　解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系． 因为AB＝3，BC＝4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)， ＝(0，3)，＝(4，－3)， 设＝(a，3)，因为BE⊥AC， 所以·＝4a－9＝0，解得a＝. 由＝λ＋μ， 得(0，3)＝λ(，3)＋μ(4，－3)， 所以解得所以λ＋μ＝. 8．(多选)(2023·广东深圳模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b上的投影数量为 C.2m＋n＝4 D．mn的最大值为2 CD　解析：对于A，向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)， 则a·b＝2－1＝1>0， 又a，b不共线， 所以a，b的夹角为锐角，故A错误； 对于B，向量a在b上的投影数量为 a·＝，B错误； 对于C，a－b＝(1，2)，若(a－b)∥c， 则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确； 对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数， 得mn＝(2m·n)≤＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确． 9．(多选)图中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则下列结论中正确的是(　　) A．·＝0 B．·＝－ C. ＋＝－ D．连接FH，则|－|＝. ABC　解析：正八边形ABCDEFGH中， HD⊥BF，则·＝0，所以A正确； ·＝1×1·cos ＝－，所以B正确； ＋＝ ＝－ ，所以C正确； 连接AF(图略)，|－|＝|