第四章 课时作业(26) 高考中的三角函数与解三角形问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(二十六)　高考中的三角函数与解三角形问题 [基础保分练] 1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC sin ＝sin B sin . (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. (1)解：由A＝2B， sin C sin ＝sin B sin 可得， sin C sin B＝sin B sin ，而0<B<， 所以sin B∈，即有sin C＝sin >0， 而0<C<π，0<C－A<π，显然C≠C－A， 所以C＋C－A＝π，而A＝2B，A＋B＋C＝π， 所以C＝. (2)证明：由sin C sin ＝sin B sin 可得， sin C＝sin B(sin C cos A－cos C sin A)，再由正弦定理可得， ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C， 然后根据余弦定理可知， －＝(b2＋c2－a2)－，化简得2a2＝b2＋c2，故原等式成立． 2．(2023·山东济宁模拟)现给出两个条件：①2c－b＝2a cos B，②(2b－c)cos A＝a cos C．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题： 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________． (1)求A； (2)若a＝－1，求△ABC面积的最大值． 解：(1)选择条件①：2c－b＝2a cos B， ∵由余弦定理可得2c－b＝2a cos B＝2a·， ∴整理可得c2＋b2－a2＝bc， 可得cos A＝＝＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. 选择条件②：(2b－c)cos A＝a cos C. ∵由题意可得2b cos A＝a cos C＋c cos A， ∴2sin B cos A＝(sin A cos C＋sin C cos A)＝ sin (A＋C)＝sin B， ∵sin B≠0，∴cos A＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵a＝－1，A＝， ∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得(－1)2＝b2＋c2－2bc·， ∴4－2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，可得bc≤2， ∴S△ABC＝bc sin A≤×2×＝， 即△ABC面积的最大值为. 3．(2021·上海卷)已知在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2c. (1)若A＝，求△ABC的面积； (2)若2sin B－sin C＝1，求△ABC的周长． 解：(1)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 代入数据可得7c2＝9，解得c＝. 由面积公式可得 S△ABC＝bc sin A＝×2××＝. (2)依题意，由正弦定理得 sin B＝2sin C， 代入计算得4sin C－sin C＝1， 解得sin C＝，则sin B＝. 当B为锐角时，cos B＝，cos C＝，sin A＝sin (B＋C) ＝sin B cos C＋cos B sin C ＝×＋×＝. 由正弦定理＝＝， 得c＝，b＝. 所以C△ABC＝4－＋3. 当B为钝角时，cos B＝－，cos C＝，sin A＝sin (B＋C) ＝sin B cos C＋cos B sin C ＝×－×＝. 由正弦定理＝＝， 得c＝，b＝. 所以C△ABC＝4＋＋3. 综上，C△ABC＝4－＋3或4＋＋3. 4．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B·sin (C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． (1)证明：因为sin C sin ＝sin B sin ， 所以sin C sin A cos B－sin C sin B cos A＝sin B sin C cos A－sin B sin A cos C， 所以ac·－2bc· ＝－ab·， 即－＝－， 所以2a2＝b2＋c2. (2)解：因为a＝5，cos A＝， 由(1)得b2＋c2＝50， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A, 则50－bc＝25，所以bc＝， 故＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 所以b＋c＝9， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14. [技能提分练] 5．(2022·山东淄博二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos (A－C)＋cos B＝，设m＝(b，c)，n＝(a，b)且m∥n. (1)求角B的大小； (2)延长BC至D，使BD＝5，若△ACD的面积S＝，求AD的长． 解：(1)由cos (A－C)＋cos B＝， 可知cos (A－C)－cos (A＋C)＝， 即cos