第四章 课时作业(24) 三角恒等变换（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(二十四)　三角恒等变换 [基础保分练] 1．(2023·湖南娄底月考)下列各式中值为的是(　　) A．tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° B．2sin 75°cos 75° C．sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15° D．1－2sin2 B　解析：对A，tan20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° ＝tan 45°(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝1，故错误；对B，2sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，故正确； 对C，sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin (45°＋15°)＝sin 60°＝，故错误； 对D，1－2sin2＝cos＝，故错误． 2．(2023·云南昆明模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P，且sin αcos α>0，则＋＝(　　) A． B． C． D．3 A　解析：根据三角函数的定义得sin α＝－，由同角三角函数的基本关系及sin αcos α>0，得cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，所以＋＝＋＝＋＝. 3．(2023·湖南高三衡阳月考)已知sin x－cos x＝，则sin (2x＋)＝(　　) A． B．－ C．－ D．－ C　解析：∵sin x－cos x＝2sin (x－)＝， ∴sin (x－)＝， ∴sin (2x＋)＝cos (2x－)＝1－2sin2(x－) ＝－. 4．(2023·浙江杭州二中月考)已知锐角α，β满足sinα＝，cos β＝，则α＋β＝(　　) A． B．或 C． D．2kπ＋(k∈Z) C　解析：由sin α＝，cos β＝， 且α，β为锐角， 可知cos α＝，sin β＝， 故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝， 又0<α＋β<π，故α＋β＝. 5．(2023·江苏盐城模拟)函数y＝2cos2(x－)－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 A　解析：y＝2cos2(x－)－1 ＝cos(2x－)＝cos (－2x)＝sin 2x， 所以T＝＝π，又f(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x，函数为奇函数． 6．(多选)(2023·山东威海调研)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) AB　解析：f(x)＝sin x cos x＝sin 2x， 由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z， 得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间是(k∈Z)， ∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确．故选AB. 7．(多选)(2023·山东临沂模拟)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ AC　解析：因为cos (α＋β)＝－， cos 2α＝－，其中α，β为锐角， 所以sin 2α＝＝，故A正确； 因为sin(α＋β)＝， 所以cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β) ＝×＋×＝， 故B错误； cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] ＝＝，故C正确； sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)] ＝＝， 所以tan αtan β＝＝，故D错误． 8．已知sin (－α)＝，则sin (＋2α)＝________． 答案：　解析：因为sin (－α)＝， 则sin (＋2α)＝cos (－2α)＝cos ＝1－2sin2(－α)＝. 9．(2021·重庆八中模拟)已知sinα＝，则cos (＋α)·sin (－α)＝___________． 答案：或　解析：由sin α＝，则cos α＝±， cos (＋α)sin (－α) ＝(cos α－sin α)(cos α－sin α) ＝cos2α＋sin2α－sinαcos α ＝－sin αcos α＝±×＝或. 10．(2023·广东韶关模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角函数知识可知，晷影长