第一部分 第三节 高中物理涉及到的数学公式-【创新教程】2023初升高物理衔接教材一本通

第三节　高中物理涉及到的数学公式 一、锐角三角函数 (一)锐角三角函数的定义 １．直角三角形的三条边 如图所示,在直角三角形△ABC 中,∠C 是直角．则AC,BC叫作直角边,AB 叫作 斜边．∠A,∠B 都是锐角．对于∠A 来 说,AC叫作∠A 的邻边,BC 叫作∠A 的 对边． ２．锐角三角函数 初中几何课本中给出锐角三角函数的定 义,是依据这样一个基本事实:在直角三 角形中,当锐角固定时,它的对边、邻边 与斜边的比值是一个固定的值． 关于这点,我们参考下图．图中的直角三 角形 AB１C１,AB２C２,AB３C３,􀆺,都有一 个相等的锐角A,即锐角A 是一个固定 值．如图所示,许许多多直角三角形中相 等的那个锐角叠合在一起,并使一条直 角边落在同一条直线上,那么斜边必然 都落在另一条直线上． 不难看出: B１C１//B２C２//B３C３//􀆺, △AB１C１∽△AB２C２∽△AB３C３∽􀆺, B１C１ AB１ ＝ B２C２ AB２ ＝ B３C３ AB３ ＝􀆺． 因此在这些直角三角形中,∠A 的对边 与斜边的比值是一个固定的值． 根据同样道理,由“相似形”知识可以知 道,在这些直角三角形中,∠A 的对边与 邻边的比值,∠A 的邻边与斜边的比值 都分别是某个固定的值． 这样在△ABC中,∠C 为直角,我们把锐 角A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正 弦,记作sinA;锐角A 邻边与斜边的比 叫作∠A 的余弦,记作cosA;锐角A 的 对边与邻边的比叫作∠A 的正切,记作 tanA;锐角 A 的邻边与对边的比叫作 ∠A 的余切,记作cotA,于是我们得到 锐角A 的四个三角函数． 三角函数定义如下 设∠A＝α,并令AC＝x,BC＝y,AB＝r, 则α的四个三角函数值定义为: ∠A的正弦sinα＝∠A 的对边 斜边 ＝ BC AB＝ y r , ∠A的余弦cosα＝∠A 的邻边 斜边 ＝ AC AB＝ x r , ∠A的正切tanα＝∠A 的对边 ∠A的邻边＝ BC AC＝ y x , ∠A的余切cotα＝∠A 的邻边 ∠A的对边＝ AC BC＝ x y , ∠A 的正弦、余弦、正切、余切统称为三 角函数(高中数学还将会学到其他的三 角函数名称)． (二)锐角三角函数的主要性质 １．三角函数值只是一个比值,由角的大小 唯一确定,与直角三角形的边长无关． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６ 物 理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中物理学习入门 ２．sinα、cosα、tanα、cotα均为正值． ３．当０＜α＜９０°时,正弦与正切函数为增函 数;余弦与余切函数为减函数． ４．对于同一个角α,存在如下的关系 (１)平方和关系: sin２α＋cos２α＝ yr æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ xr æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ y２＋x２ r２ ＝r ２ r２ ＝１; (２)比值的关系: sinα cosα＝ y r x r ＝yx＝tanα , cosα sinα＝ x r y r ＝xy＝cotα , 倒数关系: tanα＝ １cotα ;　cotα＝ １tanα ; 所以tanα×cotα＝１． ５．若α、β互为余角,则有: sinα＝cosβ,cosα＝sinβ,tanα＝cotβ, cotα＝tanβ． ６．互补角和互余角关系式 (１)sin(１８０°－θ)＝sinθ; cos(１８０°－θ)＝－cosθ; tan(１８０°－θ)＝－tanθ; cot(１８０°－θ)＝－cotθ． (２)sin(９０°－θ)＝cosθ; cos(９０°－θ)＝sinθ; tan(９０°－θ)＝cotθ; cot(９０°－θ)＝tanθ． (三)０~９０°之间的特殊角的各三角函数值 　高中物理计算中经常用到０、３０°、３７°、 ４５°、５３°、６０°、９０°的角的三角函数的值．现 把这些值列在下面的表格中,这些值都 是要求记忆的．其他角度的三角函数的 值可以查数学用表或用计算器来算． 角度 θ 正弦 (sinθ) 余弦 (cosθ) 正切 (tanθ) 余切 (cotθ) ０ ０ １ ０ ３０° １２ ３/２ ３/３ ３ ４５° ２/２ ２/２