第二篇 第三章 第5节 幂函数-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 　　　　　　　　　　　　　　　第５节　幂函数　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．通过实例,了解幂函数的概念． ２．结合函数y＝x,y＝x２,y＝x３,y＝１x ,y＝x １ ２ 的图象,了解它们的变化情况． 　　　幂函数的概念 一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中 　　　　是自变量,　　　　是常数． 幂函数的特征 (１)以幂的底为自变量,指数为常数(高中 阶段只学习指数为有理数的幂函数); (２)xα 前的系数为１,且只有一项． 　　　常见幂函数的图象和性质 解析式 y＝x y＝x２ y＝x３ y＝ １ x y＝x １ ２ 图象 定义域 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 值域 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 奇偶性 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 单调性 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 定点 (１,１) 幂函数的性质归纳 (１)所有的幂函数在区间(０,＋∞)上都有 定义,并且图象都过点(１,１)． (２)α＞０时,幂函数的图象通过原点,并且 在区间[０,＋∞)上是增函数． 特别地,当α＞１时,幂函数的图象下凹; 当０＜α＜１时,幂函数的图象上凸． (３)α＜０时,幂函数的图象在区间(０,＋∞) 上是减函数．在第一象限内,当x 从右 边趋向原点时,图象在y轴右方无限地 逼近y 轴正半轴;当x 趋于＋∞时,图 象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 　　　　幂函数概念理解及应用 函数f(x)＝(m２－m－５)xm－１是幂函 数,且当x∈(０,＋∞)时,f(x)是增函 数,试确定m 的值． [解]　根据幂函数的定义,得m２－m－５ ＝１,解得m＝３或m＝－２． 当m＝３时,f(x)＝x２ 在(０,＋∞)上是 增函数; 当m＝－２时,f(x)＝x－３在(０,＋∞)上 是减函数,不符合要求．故m＝３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断一个函数是否为幂函数) 判断一个函数是否为幂函数的依据是 该函数是否为y＝xα(α为常数)的形 式,即:(１)系数为１;(２)指数为常数; (３)后面不加任何项．反之,若一个函数 为幂函数,则该函数必具有这种形式． [变式训练] １．如果幂函数y＝(m２－３m＋３)xm ２ －m－２的 图象不过原点,求实数m 的取值． 　　　　幂函数的图象及其应用 如图所示,曲线C１ 与C２ 分别是函数 y＝xm和y＝xn 在第一象限内的图象,则下 列结论正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７８ 第二篇 A．n＜m＜０ B．m＜n＜０ C．n＞m＞０ D．m＞n＞０ [解析]　 画 出 直 线 y＝x０ 的 图 象,作 出 直线x＝２,与三个函 数 图 象 交 于 点 (２, ２０),(２,２m),(２,２n)．由三个点的位置关 系可知,n＜m＜０．故选 A． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　解决幂函数图象问题应把 握的两个原则 (１)依据图象高