第二篇 第二章 第2节 基本不等式-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

８．解:(１)∵x＝８,y＝１０ ∴甲两周购买鸡蛋的平均价格为３×８＋３×１０６ ＝９,乙两周购买鸡蛋的平均价格为 ２０１０ ８＋ １０ １０ ＝８０９ , (２)甲 两 周 购 买 鸡 蛋 的 平 均 价 格 为３x＋３y６ ＝ x＋y ２ ,乙两周购买鸡蛋的平均价格为 ２０ １０ x＋ １０ y ＝ ２xy x＋y ,由(１)知,x＝８,y＝１０时,乙两周购买鸡 蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的 平均价格低,猜测乙的购买方式更实惠． 证明:依题意x,y＞０,且x≠y,∵x＋y２ － ２xy x＋y ＝ (x＋y)２－４xy ２(x＋y) ＝ (x－y)２ ２(x＋y)＞０ ,∴x＋y２ ＞ ２xy x＋y ,所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两 周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更 实惠． 第２节　基本不等式 课前预习导引 知识点１ ≥ 知识点２ (１)a,b均为正实数　(２)a＝b　(３)②不小于 知识点３ (１)大　(２)小 课堂典例探究 变式训练 １．(１)m＞n　(２)①② ２．证明:因为a,b,c为正实数,且a＋b＋c＝１, 所以１ a－１＝ １－a a ＝ b＋c a ≥ ２ bc a ． 同理,１ b－１ ≥２ acb ,１ c－１≥ ２ ab c ． 上述三个不等式两边 均为正, 相 乘 得 １ a－１ æ è ç ö ø ÷ １ b－１ æ è ç ö ø ÷ １ c－１ æ è ç ö ø ÷ ≥ ２ bca 􀅰 ２ ac b 􀅰２ ab c ＝８ ,当且仅当a＝b＝c＝１３ 时, 取等号． ３．解:(１)∵x＞０,∴y＝１２x＋３x≥２ １２ x 􀅰３x＝１２, 当且仅当３x＝１２x ,即x＝２时,取等号, ∴y的最小值为１２． (２)∵０＜x＜３２ ,∴３－２x＞０,∴y＝４x(３－２x) ＝２[２x(３－２x)]≤２ ２x＋ (３－２x) ２[ ] ２ ＝９２． 当 且仅当２x＝３－２x,即x＝３４ 时,等号成立． ∵３４ ∈ ０ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷,∴ 函 数 y ＝４x (３－２x) ０＜x＜３２ æ è ç ö ø ÷的最大值为９ ２． 课堂达标 １．C　[因为x＜－２,所以x＋２＜０,y＝２(x＋２) ＋ １x＋２－４≤－２ ２ (x＋２)􀅰 １x＋２－４＝－２ ２ －４,故选C．] ２．B　[对于 A,当x＞０时成立; 对于B,x２＋１＋ １ x２＋１ ≥２,当且仅当x＝０时等 号成立; 对于C,应为x２＋１≥２x(x∈R); 对于 D,x２＋５x＋６＝ x＋５２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１４≥－ １ ４． ] ３．B　[a２＋b２＝(a＋b)２－２ab≥(a＋b)２－２􀅰 a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１２．a ２＋b２－２ab＝(a－b)２＞０(a≠ b),∴a２＋b２＞２ab(a≠b)．∵０＜a＜b且a＋b＝ １．∴a＜１２．∴a ２＋b２ 最大．] ４．９ ５．解:∵x＞０,y＞０,８x＋ １ y＝１ , ∴x＋２y＝ ８x＋ １ y æ è ç ö ø ÷(x＋２y)＝１０＋xy ＋ １６y x ≥ １０＋２ xy 􀅰１６y x ＝１８ , 当且仅当 ８ x＋ １ y＝１ , x y＝ １６y x , ì î í ï ï ïï 即 x＝１２, y＝３{ 时,等号成立, 故当x＝１２,y＝３时,(x＋２y)min＝１８． 课后检测评价 １．A ２．C　[∵a＋b＝２,∴a＋b２ ＝１． ∴１a＋ ４ b＝ １ a＋ ４ b æ è ç ö ø ÷ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷＝５２＋ ２a b＋ b ２a æ è ç ö ø ÷ ≥ ５ ２＋２ ２a b 􀅰b ２a＝ ９ ２ (当且仅当２a b ＝ b ２a ,即b＝ ２a时,“＝”成立), 故１ a＋ ４ b 的最小值为９ ２． ] ３．A　[当x＞２时,x－２＞０,则f(x)＝x＋ １x－２ ＝(x－２)＋ １x－２＋２≥２ (x－２)􀅰 １x－２＋２＝４ 当且仅当x－２＝ １x－２ (x＞２)时,即当x＝３时, 等号成立,因此,a＝３,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋