第一篇 第三章 第1节 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

　　　　　　　　　　　　第三章　函数及其图象　　 第１节　平面直角坐标系、一次函数、反比例函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　初中阶段,我们已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数,对于函数的研究是 初步的,通常研究它的定义、图象和性质,主要依赖于图象的直观性,而到了高中阶段, 我们将进一步学习一些具体函数,将对函数的值域、函数的变化特征,函数的最值以及 函数的应用进一步进行探究． 一、知识链接 １．平面直角坐标系的概念 概念:在平面内,两条 互相垂直、原点重合的 数轴组成平面直角坐 标系,如图所示,水平 的数轴称为x轴(或横 轴),习惯上取向右为 正方向;竖直的数轴称为y轴(或纵轴), 习惯上取向上为正方向．两坐标轴的交 点为平面直角坐标系的原点． ２．一次函数的概念 一般地,若y＝kx＋b(k,b是常数,k≠ ０),则y叫做x 的一次函数． 特别地,当b＝０时,一次函数y＝kx＋b 就成为y＝kx (k是常数,k≠０),所以说 正比例函数是一种特殊的一次函数． ３．一次函数的图象 (１)一次函数y＝kx＋b(k,b是常数,k≠０)的 图象是一条过(０,b)和 －bk ,０ æ è ç ö ø ÷的直线; (２)一次函数y＝kx＋b(k,b是常数,k≠０) 的图象与k,b符号的关系 k,b的 符号 k＞０, b＞０ k＞０, b＜０ k＜０, b＞０ k＜０, b＜０ 图象 所通过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、三、 四象限 ４．反比例函数的概念 一般地,形如y＝kx (k为常数,k≠０)的函 数称为反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数．自变量x的取值范围是不等于０ 的一切实数． ５．反比例函数的图象 反比例函数y＝kx 的图象是双曲线,是由两 条曲线组成的．k＞０时,这两条曲线分别分 布在第一、三象限内;k＜０时,这两条曲线 分别分布在第二、四象限内．如下图． ６．反比例函数的性质 反比例函数y＝kx (k≠０)的图象是双 曲线． (１)当k＞０时,双曲线的两支分别位于第 一、三象限,在每个象限内y 值随x 值 的增大而减小． (２)当k＜０时,双曲线的两支分别位于第 二、四象限,在每个象限内y 值随x 值 的增大而增大． 二、化解疑难 １．平面直角坐标系的特点:①由两条相互 垂直的 数 轴 组 成;② 两 条 数 轴 有 公 共 原点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、高中基础知识衔接 ２．正比例函数是一次函数的特殊形式,即 正比例函数是一次函数;反之,一次函数 不一定是正比例函数． ３．反比例函数y＝kx (k≠０)的图象是不连 续的曲线,是断开的两部分,画出的双曲 线的两个分支要分别体现出无限地接近 坐标轴,但永远不能达到x 轴和y 轴的 变化趋势． ４．①反比例函数的图象与x、y轴均没有交 点,只是无限靠近;②反比例函数的图象是 轴对称图形,其对称轴有两条,为y＝±x, 也是中心对称图形,对称中心为(０,０)． 　　函数的解析式 如图,一次函数y＝ x＋b的图象与反比例函 数y＝kx (k为常数,k≠ ０)的图象交于点A(－１,４)和点B(a,１)． (１)求反比例函数的表达式和a、b的值; (２)若A、O两点关于直线l对称,请连接 AO,并求出直 线l与 线 段 AO 的 交 点 坐标． [解]　(１)∵点A(－１,４)在反比例函数 y＝kx (k为常数,k≠０)的图象上, ∴k＝－１×４＝－４,∴反比例函数解析 式为y＝－４x． 把点A(－１,４)、B(a,１)分别代入y＝ x＋b中,解得:a＝ －４,b＝５． (２)连接AO,设线段AO 与 直线l 相 交 于 点 M,如 图 所示． ∵A、O