专题03 解三角形的应用-【学霸满分】2022-2023学年高一数学下学期重难点专题提优训练（人教B版2019必修第四册）

专题03 解三角形的应用 目录 专题03 解三角形的应用 1  知识归纳 1 1．正弦定理、余弦定理 1 2．实际测量中的有关名称、术语 2  【题型一】正、余弦定理判定三角形的形状 2  【题型二】证明三角形中恒等式或不等式 3  【题型三】求三角形中边长或周长的取值范围 5  【题型四】几何图形中的计算 6  【题型五】求三角形面积的最值或范围 7  【题型六】解三角形与三角函数的综合应用 9  【题型七】正、余弦定理的实际应用 10  1.测量距离 10  2.测量高度 12  3.测量角度 14  4.其他实际问题 14 · 知识归纳 1．正弦定理、余弦定理 在中，若角所对的边分别是为外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式 ______＝______＝_____. __________________，__________________， __________________. 常见变形 （1） （2） ，， . 2．实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线________方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线_______方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到______的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于） 方位角 从正北的方向线按________时针到目标方向线所转过的水平角 [思考] （1）在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个内角能解出三角形的边长吗？ __________________________ （2）两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ __________________ · 【题型一】正、余弦定理判定三角形的形状 1．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形 2．在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形 C．等边三角形 D．以上结论均不正确 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在中，a，b，c分别为的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若，则有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为锐角三角形 5．在中，设所对的边分别为，则以下结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形. B．若，则 C．若，则是锐角三角形. D．若，则一定是一个钝角三角形. · 【题型二】证明三角形中恒等式或不等式 6．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则边上的中线长为 B．若，，，则有两个解 C．若不是直角三角形，则一定有 D．若是锐角三角形，则一定有 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D. （i）求证:； （ii）若，，求CD的长. 9．在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角A的大小； (2)若是角平分线，求证：. 10．在中，角的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：． 11．如图,在四边形中,E为上一点,若. (1)求证:; (2)若,求四边形的面积. 12．在中， 角的对边分别为， 若． (1)求证： ； (2)对， 请你给出一个的值， 使不等式成立或不成立，并证明你的结论． · 【题型三】求三角形中边长或周长的取值范围 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的最小值； (2)若，求△ABC周长的最大值； (3)若，，求△ABC的面积 15．在平面四边形中，． (1)若在锐角中，，求周长的取值范围； (2)若，求的长． 16．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角C的值； (2)若，求周长的取值范围． · 【题型四】几何图形中的计算 17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． (1)求角B； (2)若M是