第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第1讲　变化率与导数、导数的运算 讲义设计提纲： 【考试要求】 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或y′|. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ ； [f(x)g(x)]′＝ ； ＝ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ ． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【易错点提醒】 区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 1、 下列说法中正确的是 ①f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． ②与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ③f′(x0)＝ ＝ ④(cos 2x) ′＝－2sin 2x. ⑤f′(x0)＝[f(x0)]′ 2、已知函数，则（       ） A． B． C． D． 3.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（       ） A． B． C． D． 4.曲线在处的切线的方程为（       ） A． B．C． D． 5.（多选）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 考点一 导数的基本概念 例1 某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是 （　　） A.500 m/h B.1 000 m/h C.400 m/h D.1 200 m/h 2.函数f（x）＝2x2－3x，则＝ （　　） A.－1 B.1 C.2 D.－3 【对点演练1】（2023江西省部分学校高三下学期期中联考）已知，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【对点演练2】（2023·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 考点2 导数的运算 例2求下列函数的导数： （1）y＝x（ln x＋cos x）； （2）y＝； （3）y＝ln x； （4）y＝xsincos. 【对点演练1】（2023四川成都联考期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2023山东潍坊高三期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 考点三 导数的几何意义 考向1：求曲线的切线方程（斜率或倾角） 例3（1）（2023山东省菏泽市高三下学期期中）正弦曲线在点处的切线斜率是（    ） A． B． C． D． （2）（2021·全国甲卷）曲线y＝在点（－1，－3）处的切线方程为　　　　； （3） （2022·新高考Ⅱ卷）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　. 【对点演练1】已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　) A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0 C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0 【对点演练2】（2023·陕西榆林统考模拟）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（    ） A． B．2 C．±2 D． 考向2：求曲线切线的切点 例4在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　.  【对点演练1】（2