第03讲 导数与函数的极值、最值-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第2讲　导数与函数的极值、最值 讲义设计提纲： 【考试要求】 1、借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2、会用导数求函数的极大值、极小值. 3、掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题． 1．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧 ，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与 ． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的 ；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 【易错点提醒】 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导； ②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点． (3)若y＝f(x)可导，则f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件． 1、 下列判断正确的是 ①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的充要条件 ②函数的极小值一定小于函数的极大值 ③函数的极大值一定不是函数的最小值． ④函数的极小值点为 ⑤若函数在区间D上单调，则一定在D上存在最值 ⑥函数的函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． 2、已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上有且仅有3个零点 D．在区间上存在极大值点 3、（多选）（2023春广东东莞·高二校考）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的最大值为 4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________． 5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________. 考点一 根据函数图象判断极值 例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　) A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2,1]上单调递增 C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性 【对点演练1】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（x－1）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 （　　） A.函数f（x）有极大值f（－3）和f（3） B.函数f（x）有极小值f（－3）和f（3） C.函数f（x）有极小值f（3）和极大值f（－3） D.函数f（x）有极小值f（－3）和极大值f（3） 【对点演练2】（2023天津红桥区天津三中校考）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（    ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点二 函数的极值 考向1：求不含参函数的极值 例2(2023·衡水模拟)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值为 (　　) A.-e2