第02讲 导数与函数的单调性-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第2讲　导数与函数的单调性 讲义设计提纲： 【考试要求】 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 函数的单调性与导数的关系 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，则： （1）若 ，则f（x）在区间（a，b）内是单调递增函数； （2）若 ，则f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数； （3）若恒有 ，则f（x）在区间（a，b）内是常数函数. 【易错点提醒】 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 1. 下列判断中正确的是 ①若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增 ②若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立 ③若可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解 ④函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数 2.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) 3.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 4.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 考点一 求函数的单调性 考向1 不含参函数的单调性 例1 （2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性。 【对点演练1】若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________． 【对点演练2】函数的减区间是（       ） A． B． C． D． 考向2 含参数的函数的单调性 例2已知函数.讨论函数的单调性； 【对点演练1】已知函数f（x）＝（m≥0），其中 e为自然对数的底数，讨论函数f（x）的单调性. 【对点演练2】（2023山东潍坊高三期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 考点二 已知函数的单调性求参数 考向1：已知函数在已知区间上单调求参数 例3（1）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是 【对点演练1】已知函数的单调递减区间是，则的值为______. 【对点演练2】已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 考向2：已知函数存在单调区间求参数 例4若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向三：已知函数不单调求参数 例5（1）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________. （2）已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________． 【对点演练1】函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（       ） A．(-∞，-3] B．(-3，1)C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞) 考点三：函数单调性的简单应用 考向1 比较大小 例6（1）已知函数，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． （2）已知，则（       ） A． B． C． D． 【对点演练1】(多选)(2023·深圳模拟)若0<x1<x2<1，则(　　) A．－>ln  B．－<ln  C．x2>x1 D．x2<x1 考向2 解不等式 例7已知偶函数f（x）在R上存在导函数f'（x），当x＞0时，＞－f'（x），且f（2）＝1，则不等式（x2－x）f（x2－x）＞2的解集为 （　　） A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2） 【对点演练1】设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　） A.（－∞，1） B. C. D.（1，＋∞） 1.已知实数，且，，，则（ ） A． B． C． D． 【对点演练1】(2023·蚌埠模拟)若x1·＝x2·log2x2＝2 024，则x1x2的值为________． 【对点演练2】已知两个不等