圆的最值问题 复习专题讲义-2023届高三数学一轮复习备考

2023年高考数学复习专题 ★★圆最值问题 一．重要结论 1.圆中与距离最值有关的常见的结论： 结论1. 圆外一点到圆上距离最近为，最远为； 结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦； 结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为； 2.圆中与面积有关的最值结论： 结论4. 圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形； 结论5. 过圆外一点向圆引两条切线，切点记为，则四边形面积的最值等价于圆心到点的距离最值. 3.圆中与角度有关的最值问题. 结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大. 结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大. 结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大. 结论9. 圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）. 4.其他与圆有关的最值问题 结论10．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. 二．强化练习 1．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（       ） A． B．10 C． D．5 2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ） A． B． C． D． 3．已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ） A． B． C．6 D．5 4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5．直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（     ） A．1 B．2 C． D．2 6．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．15 7．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（       ） A． B．17 C． D．15 9．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 10.（2021新高考1卷）．已知点在圆上，点，，则（       ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 参考答案 1．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（       ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 3．已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 5．直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（     ） A．1 B．2 C． D．2 【答案】D 6．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．15 【答案】B 7．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 8．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（       ） A． B．17 C． D．15 【答案】C 9．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 10．ACD 解析：圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 多圆最值问题研究 一．基本原理 1.将军饮马模型：如图，动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么 的最小值即为做点关于的对称点，然后连接后其长度. 2.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线. 如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线.倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！ 此时，的最小值为0，即为中垂线与的交点. 总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧” 二．典例分析 1.距离和的最小值（公众号：凌晨讲数学） 例1．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的