专题9.2 用样本估计总体（基础题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题9.2 用样本估计总体 知识点一、频率分布直方图 制作频率分布直方图的步骤 (1)求极差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图． 知识点二、频率分布直方图的应用 ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． ②＝样本容量． ③频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性． 知识点三、几种不同的统计图 条形图能直观地显示每组中的具体数据； 扇形图能直观显示各部分所占总体的百分比； 折线图能直观显示数据的变化趋势； 直方图能直观显示数据的分布情况． 知识点四、百分位数 1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 知识点五、众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 知识点六、方差、标准差 1．假设一组数据是x1，x2，…，xn，用＝表示这组数据的平均数，则称(xi－)2或－2为这组数据的方差，称为这组数据的标准差． 2．如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2. 3．如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差． 知识点七、分层随机抽样的方差 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝i，s2＝(xi－)2，＝i，t2＝(yi－)2. 若记样本平均数值为，样本方差为b2，则可以算出 ＝(i＋i)＝， b2＝ ＝. 频率分布直方图 （2010•广东模拟）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下： 组　别 频数 频率 1 0.02 4 0.08 20 0.40 15 0.30 8 0.16 合　计 （1）求出表中，，，所表示的数分别是多少？ （2）画出频率分布直方图； （3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率． （2021秋•平谷区期末）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，，，并整理得到如图所示频率分布直方图： （Ⅰ）已知样本中分数在，的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （Ⅱ）试估计测评成绩的分位数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例． 图表信息 （2023•喀什地区模拟）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为，、，、，、，、，和，六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是　　 A．这14天中空气质量指数的中位数是179 B．从1日到5日空气质量越来越好 C．这14天中有7天空气质量为“重度污染” D．连续三天中空气质量指数方差最小是8日到10日 （2023•阳泉二模）2025年某省将实行“”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目．为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）