专题05 二次根式中的规律和探究题型-2022-2023学年数学八年级下学期题型模型期末培优专题练（人教版）

培优专题05 二次根式中的规律和探究题型 【考法导图】 ◎类型1 运用一般性质进行化简的规律 1．（2023春·全国·八年级期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：，…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第4个等式：___________； (2)请写出第个等式（是正整数，用含的式子表示），并证明 2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）发现 ①计算：___________，___________； ②计算：___________，___________； 总结  通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来； 应用  利用你总结的规律，结合图示计算的值． 3．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）观察下列各式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)=________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 4．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式： ；； ，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想：＝ ＝ ； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)应用：计算． ◎类型2 复合二次根式的化简 5．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 6．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________； (2)若，且、均为正整数，试化简：； (3)化简：． 8．（2023春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简＝　 　． ◎类型3 分母有理数化的综合类型 9．（2023春·八年级单元测试），，，…… 从计算结果中找出规律，并用这一规律计算： 10．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）观察下列等式，回答有关问题． 第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式；… (1)第4个等式为______； (2)第n个等式为______； (3)化简． 11．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；① ；② ；③ 对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简； ；④ (1)请参照方法④化简：； (2)化简：； (3)化简：.（为正整数） 12．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果 ； (2)化简：； (3)比较大小：与． ◎类型4 二次根式的应用求最值 13．（2023春·安徽·八年级期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号． ∴的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当______时，有最小值为______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方