湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)

2023年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷 数学试题（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，且，则（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中的系数为40，则k＝（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 45 52 59 48 41 62 48 50 52 27 则这组数据的（ ） A. 众数是48 B. 中位数是48 C. 极差是37 D. 5%分位数是25 10. 已知高和底面边长均为2的正四棱锥，则（ ） A. B. 与底面的夹角的正弦值为 C. 二面角的平面角的正切值为2 D. 四棱锥的体积为 11. 已知曲线关于轴对称，关于原点对称，设函数，则（ ） A. B. C. 函数的最小正周期是 D. 函数的值域是 12. 已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. 若满足，则 C. 若交于点，则 D. 直线交于两点，且，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的种数是_________． 14. 已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________． 15. 已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，则的最大值为_________． 16. 已知函数且，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求的前项和． 18. 的内角的对边分别为且． （1）判断的形状； （2）若为锐角三角形，且，求的最大值． 19. 已知是平行六面体中线段上一点，且． （1）证明：平面； （2）已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角正切值． 20. 杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐． 传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组． （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影