第10章 相交线、平行线与平移——平行线性质及判定 讲义 2022—2023学年沪科版数学七年级下册

平行线性质及判定 知识点1 平行线的判定 1.平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2.平行线的判定方法 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（同位角相等，两直线平行） ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；（内错角相等，两直线平行） ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行） 【例1】（1）如图，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，说明AC∥DF． 解：∵∠A＝∠EGC　 　；又∵∠A＝∠D　　 ∴　　＝　　（　 　）；∴DF∥AC　 　． 图1 图2 （2）推理填空： 已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知） ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90° ∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又∵∠1＝∠2 （　 　），∴　 　＝　　（　 　）；∴BE∥CF （　 　）． （3）如图，直线AB与直线EF相交于点M，直线CD与直线EF相交于点N；∠1是它的补角的2倍，∠2的余角是∠2的，证明AB∥CD． 【变式1】如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，请你说明AB∥DE的理由． 【变式2】已知如图所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，你能推断BD∥CE吗？试说明你的理由． 【变式3】已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？ 【练习1】下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是　 　． 【练习2】如图，∠1＝75°，∠2＝105°，证明AB∥ED． 【练习3】如图，∠B＝45°，∠A+15°＝∠1，∠ACD＝60°．求证：AB∥CD． 【例2】已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB． 【变式1】已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：AB∥CD． 【变式2】已知：如图，点E、C、D三点共线，∠DCM＝35°，∠B＝70°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，问：AB与CD有什么位置关系；请写出推理过程． 【变式3】完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成下列推理过程： ∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（　 　）． ∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β （　 　） ∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（　 　） ∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（　 　）． ∴AB∥CD（　 　）． 【练习1】如图，已知AC，BC分别平分∠QAB，∠ABN，且∠1与∠2互余，求证：PQ∥MN． 【练习2】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD． 【例3】木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（　　） A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110° 【变式1】如图，一条公路修在湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，= ． 【变式2】学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 知识点2 平行线的性质 1.两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等； 2.两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等； 3.两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补. 【例4】如图1，a∥b，∠1