4.1　第2课时　数列的递推公式 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

§4.1　第2课时　数列的递推公式 第四章 数列 新知探索 数列递推公式的定义 1 3 6 10 15 21 … … 这个数列，我们可以这样给出这个数列 新知探索 数列递推公式的定义 梳理　如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 二 an an－1 新知探索 数列递推公式的定义 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项. 新知探索 数列的通项公式与递推公式异同点   不同点 相同点 通项 公式 可由序号n的值， 直接代入求出数列的项an 都可以确定一个数列 的任意一项 递推 公式 可根据第一(或前几项)的值，通过一次或多次赋值求出 数列的项，直至求出项an 新知探索 数列的表示方法 问题　以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 答案　①通项公式法：an＝2n. ③列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … ④图象法： 新知探索 数列的分类 梳理　数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法. 典例精析 题型一：由递推公式求前若干项 典例精析 题型一：由递推公式求前若干项 反思与感悟　 (1)通过本例说明根据递推公式一般可以求出数列的通项公式，表明了通项公式和递推关系式的联系，本例采用的观察法． (2)根据初始值及递推公式归纳猜想通项公式，可用上面的根据数列的前几项写出一个通项公式的方法来处理，不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简，但有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，而没有定法． 典例精析 题型二：累加法求通项公式 例2　对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an . 解　当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1. a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. 典例精析 题型二：累加法求通项公式 反思与感悟　 解决此题的方法叫作累加法，它适用递推公式为an＋1－an＝p(p为常数)或an＋1－an＝f(n)(f(n)可求和)的数列，过程为：由递推公式写出(n－1)个等式，将这(n－1)个等式相加求和即可． 典例精析 题型三：累乘法求通项公式 a1＝1也符合上式， 典例精析 题型三：累乘法求通项公式 反思与感悟　 方法一是累乘法，它适用递推公式为＝p(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)可求积)的数列，其过程是由递推公式写出(n－1)个等式，将这(n－1)个等式相乘即可． 典例精析 题型四：递推公式的综合应用 典例精析 题型四：递推公式的综合应用 典例精析 题型四：递推公式的综合应用 典例精析 题型四：递推公式的综合应用 反思与感悟　 (1)给出了递推公式求通项公式，常用的方法有两种：一是从特例入手，归纳猜想其通项公式；二是从一般规律入手，其常用方法有迭代法、累加法，还有累乘法等． (2)递推公式是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an，用递推公式给出一个数列，必须给出以下两点：①基础——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系． 跟踪练习 1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N* C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 √ 解析　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4， a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*，故选C. 跟踪练习 2.已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝________；a2 014＝________. 解析：a2 009＝a503×4－3＝1， a2 014＝a1 007×2＝a1 007＝a252×4－1＝0. 跟踪练习 3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于( ) A