8.6.1直线与直线垂直课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 第八章 立体几何初步 问题引入 D′ A B C D A′ B′ C′ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中， 直线A′C′与直线AB，直线A′D′与直线AB都是异面直线，直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异？ 新知探索 异面直线所成的角 α a b b′ a′ O 已知两条异面直线a，b， 经过空间任一点O分别作 直线a′∥a，b′∥b， 把直线a′，b′所成的角叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角). 空间图形问题转化 为平面图形问题 ①两条异面直线所成的角与O的位置有关吗？ (想一想为什么). ②如果两条异面直线a和b所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直， 记作a⊥b. (和以前两条直线垂直的概念进行比较，有什么区别吗？) ③a∥b，规定a和b所成角为0°. ④0°<α≤90°(α为两条异面直线所成的角). ⑤0°≤α≤90°(α为空间任意两条直线所成的角). 典例精析 题型一：求异面直线所成的角 例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； 解　∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)FO与BD所成的角. 解　连接FH，HA，AF， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AA1=2AD，则异面直线CB1与BA1 所成角的余弦值是 A. B. C. D. 解 分别取A1B1，BB1，BC的中点为H，E，F， 连接HE，EF，HF，由HE∥A1B，EF∥B1C， 得∠HEF(或其补角)为异面直线CB1与BA1所成角， 不妨设AD=2，则HE=，EF=，HF=3， 在△EFH中，由余弦定理得 cos∠HEF= ， 则异面直线CB1与BA1所成角的余弦值是. 例3 在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为 A.150° B.60° C.120° D.30° 解 取AC的中点M，连接EM，FM. 则EM∥BC，FM∥AD， EM=BC=，FM=AD=1， ∴∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成角. 在△MEF中，cos∠EMF=， ∴∠EMF=150°. ∴异面直线AD与BC所成角的大小为30°. 典例精析 题型二：利用异面直线所成的角证明垂直 例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1. 证明 连接AC，BD，交于点O， 连接OD1，AD1， ∵A1C1∥AC， ∴∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角 (或所成角的补角)， ∵OA=AC，AD1， OD1=. ∴cos∠AOD1==0， ∴∠AOD1=90°. 则异面直线OD1与A1C1所成的角为90°. 即OD1⊥A1C1. D1 A B C D A1 B1 C1 O 例5 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点， 求证：CD1⊥EF. 证明 取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG=BC. ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC， ∴DF∥BC，DF=BC， ∴EG∥DF，EG=DF， 则四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线 CD1与EF所成的角. 又A1A=AB， ∴四边形ABB1A1， 四边形CDD1C1都是正方形， 且G为CD1的中点， 所以DG⊥CD1，所以∠D1GD=90°， 所以异面直线CD1，EF所成的角为90°. 所以CD1⊥EF. 典例精析 题型三：异面直线所成角的综合问题 例6 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为____. 解 将正方体ABCD-A1B1C1D1补成一个长方体，连接CE1，ME1， 则DB