第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲） 题型目录一览 ①求函数的极值与极值点 ②极值、极值点中的参数问题 ③求函数的最值 ④最值中的参数问题 ⑤函数极值、最值的综合应用 一、知识点梳理 1．函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 2．函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【常用结论】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （3）对于任意的，总存在，使得； （4）对于任意的，总存在，使得； （5）若存在，对于任意的，使得； （6）若存在，对于任意的，使得； （7）对于任意的，使得； （8）对于任意的，使得； （9）若存在，总存在，使得 （10）若存在，总存在，使得． 二、题型分类精讲 题型一 求函数的极值与极值点 策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程 【典例1】已知函数，求函数的极值. 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 2．（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ） A． B． C．b D．4 4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（    ） A．-3 B．1 C．27 D．-5 5．（2023·四川·高三专题练习）函数的极值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ） A．的极大值为 B．的极小值为 C．的单调减区间为 D．的值域为 7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．在上单调递增 C．的极小值为 D．在上的最小值为 三、填空题 8．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值点为___________. 9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论： ①；②；③； ④；⑤． 其中正确结论的序号是__． 四、解答题 11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若，求函数在区间上的值域； (2)求函数的极值． 12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)设a＝0． ①求曲线在点处的切线方程． ②试问有极大值还是极小值？并说明理由． (2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围． 题型二 极值、极值点中的参数问题 【典例1】已知函数，．