1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2 一元二次方程的解法（一） The solution of quadratic equations with one unknown 苏科版九年级上册第1章一元二次方程 教学目标 01 理解平方根的意义，并运用于解形如x2=k(k≥0)的简单一元二次方程 02 认识直接开方法的使用情形，并进一步将直接开平方法运用于解形如(mx+h)2=k(m≠0，k≥0)的一元二次方程 直接开平方法 知识精讲 问题引入 01 Q1：（1）4的平方根是________，________的平方数是4； （2）2的平方根是________，________的平方数是2． ±2 ±2 ± ± Q2：（1）x2=4，x=________； （2）x2=2，x=________． ±2 ± 【总结】 一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为x1=2，x2=-2； 一元二次方程x2=2有两个根，它们分别记为x1=，x2=-． 02 知识精讲 1.定义： 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 直接开平方法 02 知识精讲 【探究1】解下列方程： （1）x2-5=11；（2）9x2=1；（3）1-4x2=-24． 【解答】 （1）移项：x2=16 直接开方：x=±4 即x1=4，x2=-4 （2）两边同时除以9：x2= 直接开方：x=± 即x1=，x2=- （3）移项：-4x2=-25 两边同时除以-4：x2= 直接开方：x=± 即x1=，x2=- 02 知识精讲 直接开平方法 2.使用情形： 形如x2=k(k≥0)的一元二次方程：若x2=k，则x=±， 这种形式下的两解必定互为相反数． 是否还有其他的使用情形呢？ 02 知识精讲 【探究2】解下列方程： （1）(x+2)2=4；（2）(x-1)2+4=20；（3）(2x+3)2=25． 【分析】 只要把(x+2)、(x-1)、(2x+3)分别看作是一个整体，就可以用直接开平方法求解了 02 知识精讲 【探究2】解下列方程： （1）(x+2)2=4；（2）(x-1)2+4=20；（3）(2x+3)2=25． 【解答】 （1）直接开方：x+2=±2 x=0或x=-4 即x1=0，x2=-4 （2）移项：(x-1)2=16 直接开方：x-1=±4 x=5或x=-3 即x1=5，x2=-3 （3）直接开方：2x+3=±5 2x=2或2x=-8 即x1=1，x2=-4 02 知识精讲 直接开平方法 2.使用情形： （1）形如x2=k(k≥0)的一元二次方程： 若x2=k，则x=±； （2）形如(mx+h)2=k(m≠0，k≥0)的一元二次方程： 若(mx+h)2=k，则mx+h=±． 【等号左边是一个数或式的平方的形式，而等号右边是一个非负数】 02 知识精讲 直接开平方法 3.实质： 通过降次，把一个一元二次方程转化为一元一次方程求解． 02 知识精讲 【探究3】解下列方程： （1）(x-520)2=0； （2）(x-1)2=-1314． 【解答】 （1）直接开方：x-520=±0 即x1=x2=520 （2）等式左边不是非负数， 方程没有实数解 注意： 两个相同的解是两解，不是一解哦，一定要写成“x1=x2=…”的格式 02 知识精讲 【探究4】解方程：(x-3)2=25(x-1)2． 【分析】 若A2=B2，则A=±=±B (x-3)2=25(x-1)2→(x-3)2=[5(x-1)]2=(5x-5)2 可将(x-3)、(5x-5)分别看作是一个整体 【解答】 (x-3)2=[5(x-1)]2=(5x-5)2 两边同时开平方：x-3=±(5x-5) x-3=5x-5或x-3=-5x+5 -4x=-2或6x=8 即x1=，x2= 【直接开平方法】 例1-1、解下列方程： （1）16x2＝0； （2）x2−＝0． 【解答】 （1）x2＝0 即x1=x2=0 （2）x2−8＝0 x2−16＝0 x2＝16 即x1=4，x2=-4 例1-2、方程x2=0的实数根的个数是________． 【解答】 ∵x2=0， ∴x=±0， 即x1=x2=0． 2 再次强调： 两个相同的解是两解，不是一解！！！ 例2、解下列方程： （1）(x+6)2-9=0； （2）(2x+1)2=49． 【解答】 （1）(x+6)2=9 x+6=±3 x=3或x=-9 即x1=-3，x2=-9 （2）2x+1=±7 2x=6或2x=-8 即x1=3，x2=-4 【直接开平方法——整体思想】 例3、关于x的方程a(x+k)2+2023=0的解是x1=-2，x2=1（a、k、b均为常数