数列 大题复习-2023届高三数学二轮复习备考

数列大题练习 1．设是数列的前n项和，已知，. (1)求，； (2)令，求. 2已知数列，满足：，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③. 3．（2023·广东湛江·统考二模）已知两个正项数列，满足，． (1)求，的通项公式； (2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和． 4．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若（1）中数列满足，，令，记，证明 5（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，求数列的通项公式． 6（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．数列的前项积为，且满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的前项和． 7（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 8（2023·全国·学军中学校联）设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 9．（2023·全国·模拟预测）记为正项数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和满足. (1)求及； (2)令，求数列的前项和. 11（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，． (1)求，并证明是等差数列； (2)求． 12（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，． (1)求，并证明是等差数列； (2)求． 13（2023·河南·校联考二模）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：． 14．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）函数，其中，记，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．（2023·广东广州·统考二模）设是数列的前n项和，已知，. (1)求，； (2)令，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系即可联立求解， （2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可. 【详解】（1）由得即 ，即，又，所以， （2）当时，， 当时，， 两式相加可得，得， 由于，所以 2．（2023·浙江台州·统考二模）已知数列，满足：，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列； （2）由（1）知， 又因为， 所以数列为常数列. 若选条件①或③，均可得， 所以，所以. 若选②，因为，所以，又因为， 所以，所以，所以，所以. 3．（2023·广东湛江·统考二模）已知两个正项数列，满足，． (1)求，的通项公式； (2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式； （2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解. 【详解】（1）由，得， 由，得， ，因为是正项数列，， ； （2） ， 则当时，， 所以， 两式相减得   ， 即， 因为满足， 所以. 7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若（1）中数列满足，，令，记，证明 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】（1）利用以及等差数列的定义证得结论成立. （2）先求得，利用裂项求和法求得，进而证得. 【详解】（1）依题意，， 当时，； 当时，由得， 两式相减并化简得， 则，两式相减得， 即，由于， 所以， 所以数列是等差数列； （2）设等差数列的公差为，依题意，， 所以，解得，所以. ， 所以 . 5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式； （2）根据累加法与错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以，当时，， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由知： 当时，， ①， 则②， 由得：， 化简得：， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 6