6.4 多边形的内角和与外角和 讲义 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

学科讲义·初中数学·八年级 学科讲义·初中数学·八年级 多边形的内角和与外角和 多边形的对角线 n边形 内容 图示 对角线的定义 在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 分三角形的个数 从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形 对角线的条数 n边形共有 n(n-3)条对角线 例1．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（　　） A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4 变式：过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2019个三角形，则这个多边形的边数为　 　． 多边形的内角和 四边形 五边形 六边形 n边形 图形 分成三角形的个数 2 3 4 n-2 内角和 2×180° 3×180° 4×180° (n-2)×180° n边形的内角和等于(n-2)·180°,其中n≥3,且n为正整数. n边形的内角和与它的边数n有关.正n边形的每条边都相等，每个内角都相等，其内角和为(n-2)·180°，所以正n边形的每个内角的度数为 规律总结：多边形内角和定理的应用：①已知边数求内角和；②已知内角和求边数. 易错点津：多边形的内角和一定是180°的整数倍. 例2．如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 变式：如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 多边形的外角与外角和 内容 图示 多边形的外角 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角 多边形外角和定理 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形的外角和都等于360° 【特别提醒】 正n边形的每条边都相等，每个内角都相等，其外角和为360°，所以正n边形每个外角的度数都相等且为 拓展延伸 借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-( n-2) ·180°=360°.n边形的内角和与它的边数n 有关，外角和与边数n无关，是一个定值都等于360°. 例3．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．270° C．210° D．180° 变式：已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为　 　． 多变题型 题型1．如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S2017的值为　 　．（结果保留π） 变式：如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为　 　（结果保留π） 题型2．如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（　　） A．24m B．32m C．40m D．48m 变式：如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为　 　cm2． 题型3．如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角为　 　． 变式：一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，求这个内角的度数． 题型4．如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 变式：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 本章中考在线 1．如图：四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F． （1）若AE＝4cm，AF＝6cm，AD＝9cm，求CD的长； （2）若▱ABCD的周长为40cm，AE＝6cm，AF＝9cm，求▱ABCD的面积． 2．如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长． 3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形． 4．如图，▱ABCD中，点E