2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 2．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标； (3)如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC下方，过点Q作QM⊥AC， 垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标． 3．如图，抛物线y＝a（x＋3）（x−1）与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（−2，6）． (1)求a的值及直线AC的函数关系式； (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N． ①求线段PM长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（－2，0）． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标； (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数与x轴交于点A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接MN，将△BMN沿MN翻折，若点B的对应点B′恰好落在抛物线上，试求此时t的值及点B′的坐标； (3)在(2)的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 8．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP． (1)求抛物线的解析式； (2)连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值； (3)如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点． (1)求点A的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E． ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？ ②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？ 10．如