课标新动向(回归教材)　“海伦－秦九韶公式”引出的二次根式面积问题　课件　人教版数学八年级下册第16章二次根式

课标新动向(回归教材)　 “海伦－秦九韶公式”引出的二次根式面积问题 第十六章　二次根式 【概述】2021年广东省中考数学试题的第9题考查了海伦－秦九韶公式，算是一个冷门考点，但是该素材在人教版和北师大版的教材上都可以找到.此题主要涉及面积这个重要的常考点. 【真题】(2021广东)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝(a＋b＋c)，则其面积S＝.这个公式也被称为海伦－秦九韶公式.若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　 　) (本题涉及的部分知识以后会进行学习，此处不用作答) A.　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.5 C　 类型一　圆的面积与二次根式的运用 1.【例1】(北师8上P51)一个圆的半径为1 cm，和它等面积的正方形的边长是多少厘米(结果精确到0.01 cm)? 解：设正方形的边长为x cm(x＞0)， 根据题意得π×12＝x2，解得x≈1.77. 答：正方形的边长约为1.77 cm. 7.(人教8下P5)已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，如果大圆的半径为r cm，两个小圆的半径分别为2 cm和3 cm，求r的值. 解：由题意得πr2＝π×22＋π×32， 解得r＝或－(不合题意，舍去)， 即r的值为. 类型二　长方形的面积与二次根式的运用 2.【例2】(人教8下P11)设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b，已知a＝2，b＝3，求S. 解：∵a＝2，b＝3， ∴S＝2×3＝6＝6×5×2×4＝240. 8.(人教8下P11)设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4，a＝，求b. 解：b＝S÷a＝4. 类型三　“海伦－秦九韶公式”的运用 3.【例3】(人教8下P16、北师8上P51)设一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么可以根据海伦－秦九韶公式S＝或其他方法求出三角形面积.求三边长分别为4，5，6的三角形的面积. 解：∵p＝， ∴S＝＝＝. 9.(数学文化)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用符号表示即为S＝(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).请利用这个公式求a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积. 解：∵a＝，b＝3，c＝2， ∴a2＝5，b2＝9，c2＝12， ∴三角形的面积 S＝ ＝ ＝. 类型四　三角形面积公式的灵活运用 4.【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝＋1，BC＝－1，AB＝2，求CD的长. 解：在Rt△ABC中，S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴(＋1)(－1)＝2CD， ∴2CD＝()2－12＝3－1＝2， ∴CD＝，即CD的长为. 10.(人教8下P15)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝a，求AB的长.(提示：作出AB边上的高，借助△ABC的面积求解) 解：如图，作出AB边上的高CD， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝a， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠A＝45°，又CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°，则∠ACD＝∠A＝45°， ∴斜边上的高CD＝AD＝AB. 答案图 ∵S＝AC·BC＝AB·CD， ∴AC·BC＝AB·CD， 即AB×AB＝a2，∴AB＝a. 类型五　面积问题的实际运用 5.【例5】(跨学科融合)如图，要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈，它们的面积分别为32平方米和50平方米，求栅栏的总长度. 解：∵两个相邻的正方形羊圈的面积分别 为32平方米和50平方米， ∴两个相邻的正方形羊圈的边长分别是4米和5米， ∴需要的栅栏的总长度是4×3＋5×4＝32(米). 答：栅栏的总长度为32米. 11.(创新题)(2022江西模拟)有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18 dm2和32 dm2的正方形木板. (1)求剩余木料的面积； (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木条，最多能截出　 　块这样的木条.  解：(1)∵两个正方形的面积分别为18 dm2和32 dm2， ∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm， ∴剩余木料的面积为(4－3)×3＝6(dm2). 11.(创新题)(2022江西模拟)有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18 dm2和32 dm2的正方形木板. (1)求剩余木料的面积； (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木条，最多能截出　 　块这样的木条.  　2　 类型六　求面积思想方法(割补思想、方程思想) 6.【例6】如图，正方形ABCD的面积为8，正