2023年中考数学专项训练 —— 解直角三角形及其应用

2023年中考数学专项训练 —— 解直角三角形及其应用 1、如图所示，某数学活动小组选定测量一棵大树的高度．他们在观测点处测得大树底端的俯角为，在观测点处测得大树顶端的仰角为，已的距离为米，的高度为米．求大树的高度．（参考数据：） 2、如图，某公路局施工队要修建一条东西方向的公路，已知点周围100米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走400米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） （1）是否穿过古建筑保护群？为什么？ （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 3、如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高，两楼间的距离，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况． （1）当太阳光与水平线的夹角为角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（答案可用根号表示）； （2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？ 4、今年夏季山洪暴发，易发生滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡.某中学紧挨一座山体斜坡，如图所示，已知，斜坡长30米，坡角，为保证改造后的山体不滑坡，求至少是多少米？（精确到0.1米，） 5、正方形的边长为4，以为原点建立如图平面直角坐标系中，是边上的一个动点，是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到. （1）如图，当是中点，时，求点的坐标. （2）如图，若，且，，在同一直线上，求的长. （3）如图，将正边形改为矩形，，，其他条件不变，若，且，，在同一直线上时，则的长度是 .（请用含的代数式表示） 6、如图所示，建筑物坐落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物在坡顶平地上的一部分影子米，在斜坡上的另一部分影子米，且斜坡的坡度为（即）求建筑物的高度．（结果保留根号） 7、如图是某路灯在铅垂平面内的示意图，其中为路灯，为灯杆，为灯柱，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为8米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，求路灯的高度．（结果精确到0.1米，参考数据，，，） 8、某地发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7) 9、如图，在点B正北方的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为170cm． 求出点A到线段BC的最小距离； 请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由若能接收信号，求出可接收信号的时间． 10、衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5 m的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4 m到达点B处，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1 m) 11、如图，为了测量建筑物的高度，小明在点处分别测出建筑物顶端的仰角，，在点处分别测出建筑物顶端的仰角，．已知建筑物的高度为，求建筑物的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，，．） 12、如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是线段延长线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，射线交线段的延长线于点，交于点，． （1）找出与相等的角，并说明理由； （2）若，求的值； （3）如图2，若点是直线上一点，连接，且，求周长的最小值． 13、【数学活动】求重叠部分的面积． （1）【问题情境】如图（1），将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与等边三角形的内心重合，已知，求图中重叠部分的面积． （2）【探究】在（1）的条件下，将纸片绕点旋转至如图（2）所示的位置，纸片两边分别与交于点．图（2）中重叠部分的面积与图（1）中重叠部分的面积是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由． 14、如图，自来水厂A和村庄B在小河PQ的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行2.4km，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向． （1）求BQ长度； （2）求A、B间的距离（参考数据）． 15、（1）特殊发现 如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：① ；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于 度； （2）理解运用 将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG， ①