2023年中考数学专项训练 —— 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质

2023年中考数学专项训练 —— 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1、如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点在第一象限的抛物线上，连接，.试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标：如果不存在，请明理由； （3）存在正实数，（），当时，恰好满足，求，的值． 2、如图，抛物线经过等腰的，两点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是上方抛物线上的动点，交于点，当点位于何处时，四边形是平行四边形，求点的坐标． 3、设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 4、已知抛物线． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值． 5、某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象： x/周 8 24 T/千套 10 26 (1)求T与x的函数关系式； (2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________． (3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则： ①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． ②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值． 6、如图，抛物线：与y轴交于点A，抛物线：与y轴交于点B，抛物线与相交于点C，点C的横坐标为－1，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，交抛物线于点E． (1)求抛物线和的对称轴； (2)求线段的长； (3)直线与抛物线和分别交于，两点．若，请直接写出的值． 7、如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 8、已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围． 9、已知：抛物线经过点P(−1，−2b)． (1)若b=−3，求这条抛物线的顶点坐标； (2)若b＜−3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式． 10、抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）经过点A（ - 4，0）和点B（5，） （1）求证:a + b = ； （2）若抛物线经过点C（4，0） ①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD = 2∠BAC，求点D的坐标； ②直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标 11、如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1). (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围； (3)平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标. 12、已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 13、如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标．     （2）点在该二次函数图象上.   ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 14、已知二次函数，其中． (1)当该函数的图