6.2　平行四边形的判定 讲义 2022—2023学年北师大版数学八年级下册　

学科讲义·初中数学·八年级 学科讲义·初中数学·八年级 平行四边形的判定 平行四边形的判定方法 判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面进行考虑.如图6-19所示，在四边形ABCD 中，AC，BD交于O点.具体方法如下表. 判定方法 数学语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1) ∵AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2) ∵AD⊥BC(或AB⊥CD),∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理3) ∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形 【特别提醒】 (1)平行四边形的判定方法都可以利用平行四边形的定义推导出来，因此定义是判定的基础. (2)可以从边、角、对角线三方面来掌握平行四边形的判定方法，解题时可根据不同的条件选择不同的方法，归纳、列表如下： 已知条件 判定方法 边 一组对边相等 判定定理1或2 一组对边平行 判定定理2或平行四边形的定义 对角线 对角线互相平分 判定定理3 角 两组对角分别相等 平行四边形的定义 例1．顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（　　） A．5种 B．4种 C．3种 D．1种 变式：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB＝BC，AD＝CD C．AB∥DC，AB＝DC D．AD＝BC，AO＝CO 平行四边形的性质与判定的关系 区别：由平行四边形这一条件得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系得到平行四边形，这是平行四边形的判定. 联系：平行四边形的判定定理与其对应的性质定理是互逆定理.平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论构成互逆关系. 【特别提醒】 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题. 例2．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长． 变式：如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形． 平行线间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.如图6-21所示，因为l₁//l₂,AB⊥l₂,CD⊥l₂,所以AB=CD. 【要点精析】 (1)平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离，是垂线段的长度，而不是垂线段. (2)夹在两条平行线间的平行线段相等.“夹”指线段的端点在平行线上.如图6-22所示,因为l₁// l₂,AB∥CD,所以AB=CD. 例3．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（　　） A． l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B．CE＝FG C．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离 D．AC＝BD 变式：如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由． 多变题型 题型1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：　 　，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）． 题型2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F，已知OE＝OF，且AO+AE＝CO+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形． 变式：已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形． 题型3．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程． 探索： 已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB