平面向量 专题讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

分类精选 平面向量等和线定理 第1页，共14页 平面向量等和线定理 【定理证明】 题型一：求系数和的取值范围问题 【2009 年安徽卷•理数•14】 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120 . 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB= + ，其中 ,x y ，则 x y+ 的最大值是________. 答案：2 【同源题 1】已知 OAB△ 中， 1, 3 OA OB AOB  = =  = ，若OC 与线段 AB 交于 P 点，且满足 , 3OC OA OB OC = + = ，则 + 的最大值为 A. 1 B. 2 3 C. 3 D. 2 答案：D 【注】 本题和“2009 年安徽卷•理数•14”没有本质差别. 【同源题 2】 已知 1 2,e e 是单位向量，其夹角为 3  ，若 ( )1 2 2 ,m n m n+ = e e ，则 2m n+ 的最大值为________. 答案： 2 2 【注】 本题改编自“2009 年安徽卷•理数•14”. 分类精选 平面向量等和线定理 第2页，共14页 【2017 年全国高中数学联赛福建省预赛试题第 10 题】 A B C、 、 为圆O 上不同的三点，且 120AOB = ，点C 在劣弧 AB 内(点C 与 A B、 不重合)，若 ( ),OC OA OB   = +  ，则  + 的取值范围为__________. 答案： ( 1,2 【杭州市 2013 届一模第 17 题】 如图，在扇形OAB 中， 60AOB = ，C 为弧 AB 上的一个 动点，若OC xOA yOB= + ，则 3x y+ 的取值范围是_________. 答案：  1,3 【2017 年全国 III 卷•理数•12】 在矩形 ABCD 中， 1, 2AB AD= = ，动点 P 在以点C 为圆心 且与 BD 相切的圆上，若 AP AB AD = + ，则 + 的最大值为 A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2 答案：A 分类精选 平面向量等和线定理 第3页，共14页 【例 1】已知向量 ,OA OB 满足 ( )1, , ,OA OB OA OB OC OA OB   = = ⊥ = +  ，若M 为线 段 AB的中点，并且 1MC = ，则 + 的最大值为 A. 1 2+ B. 1 2− C. 2 1− D. 1 答案：A 【例 2】 如图，在直角梯形 ABCD 中， , 1, 3AB AD AD DC AB⊥ = = = ，动点 P 在 BCD△ 内 运动(含边界)，设 ( ),AP AB AD   = +  ，则 + 的取值范围是________. 答案： 4 1, 3       【改编题 1】 如图，在直角梯形 ABCD 中， , / / , 1, 2AB AD DC AB AD DC AB⊥ = = = ， ,E F 分 别为 ,AB BC 的中点，点 P 在以 A 为圆心，AD为半径的圆弧 DE 上运动. 若 AP ED AF = + ， 其中 ,   . 则 2 − 的取值范围是_________. 答案：  1,1− 分类精选 平面向量等和线定理 第4页，共14页 解：如上图所示， 2AP AQ AF = − + ，根据等和线定理：当点 P 在直线 FQ 上运动时， 2 1 − = ；当点 P 在直线 DG 上运动时， 2 1 − = − .  2 1,1  −  − . 所以  2 1,1 −  − . 【青浦区 2018 届高三二模•16】 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每 组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正 八角星的中心为O ，并且 1 2,OA e OB e= = ．若将点O 到正八角星 16 个顶点的向量都写成 1 2e e   + ， 、