新知预览1 一次函数的图象与直线的方程及直线的倾斜角、斜率及其关系-【快乐假期】2023高一数学暑假小作业（新教材，北师大版）

１．一次函数的图象与直线的方程及 直线的倾斜角、斜率及其关系 　　　　　　　　　　　　　　　 ★[学习目标]　１．理解一次函数的图象与直线方程的关系．２．在平面直角坐标系中,结合 具体图形,探索确定直线位置的几何要素．３．理解直线的倾斜角和斜率的概念,理解直线的 方向向量与直线的倾斜角、斜率的关系,掌握过两点的直线斜率的计算公式． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．一次函数的图象与直线的方程 一般地,一次函数y＝kx＋b(k≠０)的图 象是一条直线,它是以满足y＝kx＋b的 每一对x,y 的值为坐标的点构成的．同 时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元 一次方程． ２．直线的确定及直线的倾斜角 (１)直线的确定:在平面直角坐标系中,确 定直线位置的几何条件是:已知直线上 的　　　　和这条直线的　　　　． (２)直线的倾斜角: ①定义:在平面直角坐标系中,对于一 条与x 轴相交的直线l,把　　　　　 　　按　　　　　　方向绕着交点旋 转到和直线l首次重合时所成的角,称 为直线l的倾斜角,通常倾斜角用α表 示．当直线l与x 轴平行或重合时,规定 它的倾斜角为０． ②范围:　　　　． ３．直线的斜率 在直线l上任取两个不同的点P１(x１, y１),P２(x２,y２)记 Δx＝x２－x１(Δx≠０), Δy＝y２－y１,则k＝ Δy Δx 的大小与两点 P１,P２ 在 直 线 上 的 位 置 无 关,称 k＝ y２－y１ x２－x１ (其中x１≠x２)为经过不同两点 P１(x１,y１),P２(x２,y２)的直线l的斜率． 常用斜率来表示直线的倾斜程度． ４．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (１)倾斜角不是π２ 的直线,它的斜率k和它 的倾斜角α满足k＝tanα 其中α≠π２ æ è ç ö ø ÷; (２)在直线l上任取两个不同的点P１(x１,y１), P２(x２,y２),则有关系k＝ y２－y１ x２－x１ ＝tanα (其中x１≠x２); (３)若k是直线l的斜率,则v＝(１,k)是它 的一个方向向量;若直线l的一个方向 向量的坐标为(x,y),其中x≠０,则它的 斜率k＝yx． ５．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝０ ０＜α＜π２ α＝ π ２ π ２＜α＜π 斜率 (范围) k＝０ k＞０ 不存在 k＜０ k的增 减情况 k随α的增 大而增大 k随α的增 大而增大 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　直线的倾斜角 　设直线l过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋 转４５°,得到直线l１,那么l１ 的倾斜角为 (　　) A．α＋４５° B．α－１３５° C．１３５°－α D．当０°≤α＜１３５°时,倾斜角为α＋４５°; 当１３５°≤α＜１８０°时,倾斜角为α－１３５° [解析]　D　[根据题意,画出图形,如图 所示: 因为０°≤α＜１８０°,显然 A,B,C未分类讨 论,均不全面,不合题意,通过画图可知: 当０°≤α＜１３５°时,l１ 的倾斜角为α＋４５°; 当１３５°≤α＜１８０°时,l１ 的倾斜角为４５°＋ α－１８０°＝α－１３５°．故选 D．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求直线的倾斜角的关注点 (１)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其 关键是根据题意画出图形,找准倾斜 角,有时要根据情况分类讨论． (２)结合图形求角时,应注意平面几何知识 的应用,如三角形内角和定理及其有关 推论． [变式训练] １．图中α能表示直线l的倾斜角的是 (　　) ◆[题型二]　直线斜率的计算 　经过下列两点的直线的斜率是否存 在? 如果存在,求其斜率,并确定直线的 倾斜角α． (１)A(２,３),B(４,５); (２)C(－２,３),D(２,－１); (３)P(－３,１),Q(－３,１０)． [解]　(１)存在,直线 AB 的斜率kAB ＝ ５－３