假期作业8 余弦定理-【快乐假期】2023高一数学暑假小作业（新教材，人教B版）

８．余弦定理　　　　　　　 １．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍,即a２＝b２＋c２－２bccosA, b２＝　　　　,c２＝　　　　． ２．余弦定理的推论 从余弦定理,可以得到它的推论 cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ,cosB＝ 　; cosC＝　　　　　　　　． ３．余弦定理与勾股定理 从余弦定理和余弦函数的性质可知,如 果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方,那么第三边所对的角是　　　 　 　;如果小于第三边的平方,那么第三 边所对的角是　　　　 　;如果大于第 三边 的 平 方,那 么 第 三 边 所 对 的 角 是 　　　　 　．从上可知,余弦定理可以看 作是勾股定理的推广． ◆[考点一]　已知两边及一角解三角形 １．一个三角形的两边长分别为５和３,它们 夹角的余弦值是－３５ ,则三角形的第三边 长为 (　　) A．５２　　B．２ １３　　C．１６　　　D．４ ２．如果等腰三角形的周长是底边长的 ５ 倍,那么它的顶角的余弦值为 (　　) A．５１８ B． ３ ４ C． ３ ２ D． ７ ８ ３．在△ABC中,cosC＝２３ ,AC＝４,BC＝３, 则cosB＝ (　　) A．１９ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ４．设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c．若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３２ ,且 b＜c,则b＝ (　　) A．３　　B．２　　C．２ ２　　D．３ ◆[考点二]　已知三边或三边的关系解三 角形 ５．若△ABC的三边长分别为AB＝７,BC＝ ５,CA＝６,则AB →􀅰BC → 的值为 (　　) A．１９ B．１４ C．－１８ D．－１９ ６．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c．若a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,则A＝ (　　) A．１２０°　　B．４５°　　C．６０°　　D．３０° ７．如图,在三棱锥P－ABC的 平面展开图中,AC＝１,AB ＝AD＝ ３,AB⊥AC,AB⊥ AD,∠CAE＝３０°, 则cos∠FCB＝　　　　． ８．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,已知c＝２b．若sinC＝３４ ,则 sinB＝　　　　　　;若b２＋bc＝２a２, 则cosB＝　　　　　　． ◆[考点三]　余弦定理的综合应用 ９．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c．若a＝６,c＝４,sinB２＝ ３ ３ ,则b＝ (　　) A．９ B．３６ C．６ ２ D．６ １０．在△ABC 中,已知BC＝７,AC＝８,AB ＝９,则AC边上的中线长为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ １１．(２０２１􀅰天津卷,１６)在△ABC 中,角A, B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA∶ sinB∶sinC＝２∶１∶ ２,b＝ ２． (１)求a的值; (２)求cosC的值; (３)求sin２C－π６ æ è ç ö ø ÷的值． １２．在①ac＝ ３,②csinA＝３,③c＝ ３b这 三个条件中任选一个,补充在下面问题 中,若问题中的三角形存在,求c的值; 若问题中的三角形不存在,说明理由． 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,且sinA＝３sinB, C＝π６ ,　　　　? 注:如果选择多个条件分别解答,按第 一个解答计分． １．顶角为３６°的等腰三角形 称为“黄金三角形”,黄金 三角形看起来标准又美 观．如图所示,△ABC 是 黄金三角形,AB＝AC,作 ∠ABC 的 平 分 线 交 AC 于点D,易知△BCD 也是黄金三角形．若 BC＝１,则AB＝　　　　　　;借助黄 金三角形可计算sin２３４°＝　　　　． ２．(２０２２􀅰全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A－B) ＝sinBsin(C－A)． (１)证明:２a２＝b２＋c２; (２)若a＝５,cosA＝２５３１ ,求 △ABC 的 周长． 一哥们家里着火了 他报 警 说:１１９ 吗? 我 家发生火灾了􀆺􀆺 １１９问