假期作业6 三角恒等变换-【快乐假期】2023高一数学暑假小作业（新教材，人教B版）

６．三角恒等变换　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　; cos(α∓β)＝　　　　　　　　; tan(α±β)＝　　　　　　 α±β,α,β均不为kπ＋ π ２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．倍角公式 sin２α＝　　　　　　　　; cos２α＝　　　＝　　　＝　　　; tan２α＝２tanα １－tan２α α,２α均不为kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数公式的变形 (１)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ); (２)cos２α＝１＋cos２α２ ,sin２α＝１－cos２α２ ; (３)１＋sin２α＝(sinα＋cosα)２,１－sin２α ＝(sinα－cosα)２,sinα±cosα ＝ ２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． ◆[考点一]　三角函数式的化简与求值 １．３sin５π１２－cos ５π １２ 的值是 (　　) A．２　　B．２２　　C．－ ２　　D．sin ７π １２ ２．已知α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,２sin２α＝cos２α＋１,则 sinα＝ (　　) A．１５ B． ５ ５ C． ３ ３ D． ２ ５ ５ ３．(多选)下列式子的运算结果为 ３的是 (　　) A．tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° B．２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°) C．１＋tan１５°１－tan１５° D． tanπ６ １－tan２ π６ ４．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,６)若tanθ＝－２,则 sinθ(１＋sin２θ) sinθ＋cosθ ＝ (　　) A．－６５ B．－ ２ ５ C． ２ ５ D． ６ ５ ５．(２０２１􀅰全国甲卷(理),９)若α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, tan２α＝ cosα２－sinα ,则tanα＝ (　　) A．１５１５ B． ５ ５ C． ５ ３ D． １５ ３ ６．若tanα－π４ æ è ç ö ø ÷＝１６ ,则tanα＝　　　　． ◆[考点二]　二角变换的简单应用 ７．函数f(x)＝３sinx２cos x ２＋４cos ２x ２ (x∈ R)的最大值等于 (　　) A．５ B．９２ C． ５ ２ D．２ ８．黄金分割是指将整体一分为二,较大部 分与整体的比值等于较小部分与较大部 分的比值,其比值约为０．６１８,这一比值 也 可 以 表 示 为 a ＝ ２cos ７２°,则 １－２sin２２７° a ４－a２ ＝ (　　) A．２ B．１ C．１２ D． １ ４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１ ９．(多选)设函数f(x)＝sin ２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷,则f(x)＝ (　　) A．是偶函数 B．在区间 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．最大值为２ D．其图像关于点 π４ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 １０．如图,矩形OABC 中,AB＝１,OA＝２, 以B 为圆心,BA 为半径在矩形内部作 弧,点P 是弧上一动点,PM⊥OA,垂足 为 M,PN⊥OC,垂足为 N,则四边形 OMPN 的周长的最小值为　　　　． １１．已知OA → ＝(１,sinx－１),OB → ＝(sinx＋ sinxcosx,sinx),f(x)＝OA →􀅰OB →(x∈R)．求: (１)函数f(x)的最大值和最小正周期; (２)函数f(x)的单调递增区间． １２．已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴 的 非 负 半 轴 重 合,它 的 终 边 过 点 P －３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷． (１)求sin(α＋π)的值; (２)若角β满足sin(α＋β)＝ ５ １３ ,求cosβ 的值． １．已知α∈(０,π),且３cos２α－８cosα＝５, 则sinα＝ (　　) A．５３　　B． ２ ３　　C． １ ３　　D． ５ ９ ２．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,６)若sin(α＋β)＋ cos(α＋β)＝２ ２cos α＋ π ４ æ è ç ö ø ÷sinβ