假期作业5 向量的数量积-【快乐假期】2023高一数学暑假小作业（新教材，人教B版）

　　　　５．向量的数量积　　　　　　　 １．向量的数量积 定义:当a与b都是非零向量时,称　　　　 为向量a与b的数量积(或内积)．规定:零 向量与任一向量的数量积为　　　　． ２．向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰(λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．向量数量积的坐标运算 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２), ‹a,b›＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线 向量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝０ (b≠０)． (２)证 明 垂 直 问 题,常 用 数 量 积 的 运 算 性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． ◆[考点一]　平面向量数量积的运算 １．(２０２１􀅰浙江卷,３)已知非零向量a,b,c, 则“a􀅰c＝b􀅰c”是“a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(２０２２􀅰全国乙卷)已知向量a,b满足|a|＝１, |b|＝３,|a－２b|＝３,则a􀅰b＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ ３．(２０２２􀅰全国甲卷)设向量a,b的夹角的 余弦值为１ ３ ,且|a|＝１,|b|＝３,则(２a＋ b)􀅰b＝　　　　． ◆[考点二]　利用向量数量积求向量的夹 角和模 ４．已知向量a＝(２,３),b＝(３,２),则|a－b|＝ (　　) A．２　　　　　　　B．２ C．５ ２ D．５０ ５．已知向量a,b满足|a|＝５,|b|＝６,a􀅰b ＝－６,则cos‹a,a＋b›＝ (　　) A．－３１３５ B．－ １９ ３５ C．１７３５ D． １９ ３５ ６．已知非零向量a,b满足|a|＝２|b|,且 (a－b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A．π６　　B． π ３　　C． ２π ３　　D． ５π ６ ◆[考点三]　平面向量的垂直及应用 ７．(多选)已知a,b为非零向量,且a＝(x１,y１), b＝(x２,y２),则下列命题中与a⊥b等价 的有 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a－b)２ ８．(２０２１􀅰全国乙卷理,１４)已知向量a＝(１,３), b＝(３,４),若(a－λb)⊥b,则λ＝　　　　． ９．(２０２１􀅰全国甲卷理,１４)已知向量a＝ (３,１),b＝(１,０),c＝a＋kb．若a⊥c, 则k＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ ◆[考点四]　平面向量数量积的综合应用 １０．(多选)若向量a＝(３,３),b＝(n,３), 下列结论正确的有 (　　) A．若a,b同向,则n＝１ B．与a垂直的单位向量一定是 － ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ C．若b在a 上的投影向量为３e(e是与 向量a同向的单位向量),则n＝３ D．若a与b 的夹角为钝角,则n的取值 范围是(－３,＋∞) １１．如图所示,ABCD 是 正方形,M 是BC 的 中点,将正方形折起使 点A 与 M 重合,设折 痕为EF,若正方形面 积为６４,求△AEM的面积． １２．在△ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２, |BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线,l 与BC交于点D,E为l上异于D的任意一 点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断 AE →􀅰CB → 的值是否为一个常 数,并说明理由． １．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(３,４), b＝(１,０),c＝a＋tb,若‹a,c›＝‹b,c›,则 t＝ (　　) A．－６　　B．－５　　C．５　　D．６ ２．(多选)在水流速度大小为４ ３km/h的 河水中,一艘船以１２km/h大小的实际 航行速度垂直于