新知预览3 空间向量基本定理-【快乐假期】2023高一数学暑假小作业（新教材，人教B版）

　３．空间向量基本定理　　　　　　　 ★[学习目标]　１．理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用．２．掌握空间向量的正交 分解． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意 一个空间向量p,存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得　　　　　　． ２．基底 (１)定义:如果三个向量a,b,c　　　　,那 么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝xa＋yb＋zc,x,y,z∈R},这个集合可 看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c} 叫做空间的一个　　　　,a,b,c都叫做 　　　　． (２)性质:空间任意三个　　　　的向量都 可以构成空间的一个基底． ３．正交分解 (１)单位正交基底:如果空间的一个基底中的 三个基向量　　　　,且长度都为　　　　, 那么这个基底叫做单位正交基底,常用 (i,j,k)表示． (２)正交分解:由空间向量基本定理可知, 对空间中的任意向量a,均可以分解为 三个向量xi,yj,zk,使　　　　　　． 像这样,把一个空间向量分解为三个 　　　　的向量,叫做把空间向量正交 分解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　基底的判断 　已知{e１,e２,e３}是空间的一个基底, 且OA → ＝e１＋２e２－e２,OB → ＝－３e１＋e２＋ ２e３,OC → ＝e１＋e２－e３,试判断{OA →,OB →, OC →}能否作为空间的一个基底． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断基底的基本思路 (１)判断一组向量能否作为空间的一 个基底,实质是判断这三个向量是 否共面,若不共面,就可以作为一 个基底． (２)判断基底时,常常依托正方体、长方 体、平行六面体、四面体等几何体,用 它们从同一顶点出发的三条棱对应 的方向向量为基底,并在此基础上 构造其他向量进行相关的判断． [变式训练] １．设x＝a＋b,y＝b＋c,z＝c＋a,且{a,b,c} 是空间的一个基底．给出下列向量组: ①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z}, ④{x,y,a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有 　　　　(填序号)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４ ◆[题型二]　利用基底表示向量 　如图,在平行六面 体 ABCD－A１B１C１D１ 中,设AA１ → ＝a,AB → ＝b, AD → ＝c,M,N,P 分别 是AA１,BC,C１D１ 的中 点,试用a,b,c表示以下各向量; (１)AP →;(２)A１N →;(３)MP → ＋NC１ → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用基底表示向量的步骤 定 基 底 根据已知条件,确定三个不共 面的同量构成空间的一个基 底 找 目 标 用确定的基底(或已知基底) 表示目标向量,需要根据三角 形法则及平行四边形法则,结 合相等向量的代换、向量的运 算进行变形、化简,最后求出 结果 下 结 论 利用空间向量的一个基底{a, b,c}可以表示出空间所有向 量．表示要彻底,结果中只能 含有a,b,c,不能含有其他形 式的向量 [变式训练] ２．如图所示,在正方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 中,取AB → ＝a,AD → ＝b,AA１ → ＝c． (１)