新知预览2 空间向量的数量积运算-【快乐假期】2023高一数学暑假小作业（新教材，人教B版）

　２．空间向量的数量积运算　　　　　　　 ★[学习目标]　１．掌握空间向量的数量积．２．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． ３．能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任 取一 点 O,作OA → ＝a,OB → ＝b,则 ∠AOB 叫做向量a,b的夹角 记法 ‹a,b› 范围 通常规定:０≤‹a,b›≤π,当‹a,b›＝ 　　　　时,a⊥b ２．空间向量的数量积 (１)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|􀅰 cos‹a,b›叫做a,b的数量积,记作　　　 　　．即a􀅰b＝　　　　． (２)运算律 ①结合律:(λa)􀅰b＝　　　　; ②交换律:a􀅰b＝　　　　; ③分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　． (３)性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若a,b 是 非 零 向 量,则a⊥b ⇔　　　　 共线 同向:a􀅰b＝|a|􀅰|b| 反向:a􀅰b＝－|a|􀅰|b| 模 a􀅰a＝　　　　＝|a|; |a|＝ a􀅰a; |a􀅰b|≤|a|􀅰|b| 夹 角 θ为a,b的夹角,则cosθ＝ a􀅰b |a||b| ３．投影向量 (１)向量a在向量b上的投影先将向量a与 向量b平移到同一平面α内,如图①,向 量c 称 为 向 量a 在 向 量b 上 的 投 影 向量． (２)向量a在直线l上的投影如图②,向量c 称为向量a在直线l上的投影向量． (３)向量a在平面β 上的投影如图③,分别 由向量a的起点A 和终点B 作平面β 的垂线,垂足分别为 A′,B′,得到向量 A′B′ →,则向量A′B′ →(a′)称为向量a在平 面β上的投影向量． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　空间向量的数量积运算 　如图所示,已知空间 四边形ABCD 的每条边和 对角线长都等于１,点E,F 分别是 AB,AD 的中点, 计算: (１)EF →􀅰BA →;(２)EF →􀅰BD →;(３)EF →􀅰DC →; (４)BF →􀅰CE → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 空间向量运算的两种 方法 (１)利用定义:利用a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b› 并结合运算律进行计算． (２)利用图形:计算两个向量的数量 积,可先将各向量移到同一顶点, 利用图形寻找夹角,再代入数量积 公式进行运算． [变式训练] １．已知长方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AB ＝AA１＝２,AD＝４,E 为侧面AA１B１B 的 中心,F 为A１D１ 的中点．求下列向量的 数量积． (１)BC →􀅰ED１ →;(２)BF →􀅰AB１ → ． ◆[题型二]　利用数量积证明垂直问题 　如图所示,在四棱锥 P－ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB＝ ６０°,AB＝２AD,PD⊥底面ABCD．求证: PA⊥BD． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用空间向量解决垂直 问题的方法 (１)证明线线垂直的关键是确定直线 的方向向量,看方向向量的数量积 是否为０来判断两直线是否垂直． (２)证明与空间向量a,b,c有关的向 量m,n垂直应先用向量a,b,c表 示向量m,n,再求解向量 m,n 的 数量积并判断是否为０． [变式训练] ２．如 图 所 示,在 正 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,O 为