北京市第五十七中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试卷

2021-2022学年北京五十七中高二（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题，每题4分，共计40分。 1．（4分）已知圆C：x2+2x+y2＝0，则圆心C到直线x＝3的距离等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（4分）已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（　　） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β 3．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣]∪[4，+∞） B．[﹣，4] C．（，+∞） D．[﹣4，] 5．（4分）已知椭圆C：+＝1，F1、F2分别为它的左、右焦点，A、B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（　　） A．离心率e＝ B．△F1PF2的周长为18 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值﹣ D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为8 6．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是（　　） A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+] 7．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（　　） A．x2+y2﹣2x﹣3＝0 B．x2+y2+4x＝0 C．x2+y2+2x﹣3＝0 D．x2+y2﹣4x＝0 8．（4分）当点P在圆x2+y2＝1上变动时，它与定点Q（﹣3，0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是（　　） A．（x+3）2+y2＝4 B．（x﹣3）2+y2＝4 C．（2x﹣3）2+4y2＝1 D．（2x+3）2+4y2＝1 9．（4分）如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦点的椭圆，设其中经过点M，N，P的椭圆的离心率分别是eM，eN，eP，则（　　） A．eM＝eN＝eP B．eP＜eM＝eN C．eM＜eN＜eP D．eP＜eM＜eN 10．（4分）关于曲线C：x4+y2＝1，给出下列四个命题： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y＝x对称 ③曲线C围成的面积大于π ④曲线C围成的面积小于π 上述命题中，真命题的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①③ 二、填空题：每题5分，共计25分。 11．（5分）已知半径为2的圆经过点（1，0），其圆心到直线3x﹣4y+12＝0的距离的最小值为 　 　． 12．（5分）已知直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 　 　，离心率为 　 　． 13．（5分）已知椭圆mx2+4y2＝1的离心率为，则实数m等于　 　． 14．（5分）椭圆（a＞b＞0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e＝　 　． 15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足|+|＝2，则实数k的取值范围是 　 　． 三、解答题： 16．（10分）已知函数的最大值为． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间． 17．（9分）在△ABC中，． （Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）若△ABC是钝角三角形，求BC边上的高． 18．（9分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4＝0． （Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长； （Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程． 19．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PCD； （Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值． 20．（9分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当△AMN的面积为时