1.5全称量词与存在量词 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5全称量词与存在量词 思考：下列语句是命题吗？为什么？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； 改成： (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 是命题吗？ 对变量的范围进行限定的短语称为量词 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中称为全称量词 用符号 表示 全称量词命题:含有全称量词的命题. 你能举几个这样的命题吗？ 2 全称量词命题可以抽象为“对M中任意一个x，p(x)成立” 我们可以这样：把每一个命题里的研究对象看成元素x，它是一个变量，变量x的取值范围用M表示，含有变量x的语句用p(x)，q(x)等表示。 如： （1）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （2）平行四边形的对角线互相平分； (3) ∀x∈N，x2>0. 问：你能用符号语言来表示全称量词命题吗？ 数学符号表示： 3 例1 判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2) x∈R，|x|+1≥1； (3)对任意一个无理数x，x2也是无理数. 总结: 全称量词命题： 真，需严格证明；假，举反例 练习： P28练习1 思考：下列语句是命题吗？为什么？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑中称为存在量词 . 用符号 表示 存在量词命题：含有存在量词的命题. 改为：(3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.是命题吗？ 你能举几个这样的命题吗？用数学符号语言如何表示？ 5 如： 1.有些理数的平方是有理数； 2.存在1≤x<2，使不等式x2-4<0成立； 3.方程x2+2x+2=0有实数解. 我们还是把每一个命题里的研究对象看成元素x，它是一个变量，变量x的取值范围用M表示，含有变量x的语句用p(x)，q(x)等表示。 存在量词命题：“存在M中的元素x，p(x)成立” 数学符号表示： 例2 判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使x2+2x+3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 总结: 存在量词命题： 真，举例说明；假，严格证明 判断全称量词命题、存在量词命题的真假，关键在于读懂命题的含义。 在一次数学考试后，小明看了全班的成绩之后，说：“咱班的数学成绩都超过了80分” 这时候，隔壁班的一个同学说：“你看漏了，xxx同学考了70分”轻易的否定了小明的结论。即“咱班的数学成绩没有都超过80分”。 对一个命题的进行否定，我们发现可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。 56是7的倍数； 命题的否定还是一个命题； 命题与命题的否定 一真一假，真假相反. 命题的否定：对命题的结论的否定. 否定：56不是7的倍数 空集是集合A={1,2,3}的真子集. 否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集 9 探 究 写出下列命题的否定： 1.所有的矩形都是平行四边形； 2.每一个素数都是奇数； 3. . 它们与原命题在形式上有什么变化？ 得：全称量词命题的否定是存在量词命题。 否 定 其中，“p(x)不成立”记为“ ”读作“非p(x)” 例3 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字等于3. 探 究 写出下列命题的否定： 1.存在一个实数的绝对值是正数； 2.有些平行四边形是菱形； 3. 。 它们与原命题在形式上有什么变化？ 得：存在量词命题的否定是全称量词命题 否 定 12 例4 写出下列存在量词命题的否定： (1) (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数。 变 式1：已知命题p，写出¬p (1)p:存在x∈R，x<0或x≥3； (2)p:平行四边形的对边平行且相等. 原命题 否定形式 原命题 否定形式 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立 对任何x， 不成立 所有的 不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某x， 不成立 存在某x， 成立 不等于 某个 某些 “且”否定用“或”；“或”否定用“且” “都”—全称量词