江苏省南京师范大学附属中学2023届高三下学期5月模拟数学试题

南京师大附中2023届高三年级模拟考试 数学 2023.5 （总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则中元素个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 5. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 7. 已知实数，满足，，其中是自然对数底数，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ） A. 的值为0.015，的值为40 B. 平均分为72，众数为75 C. 中位数为75 D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人 10. 已知函数在上单调，且图象关于点对称，则（ ） A. 最小正周期为 B. C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D. 函数在上有且仅有一个零点 11. 如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则（ ） A 平面 B. 平面平面 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 12. 点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ） A. 存在，，，使得 B. 若，均与圆相切，则弦长的最小值为 C. 若，均与圆相切，则直线经过一个定点 D. 若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为________． 14. 某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在85分到90分的人数约是________．（按四舍五入法保留整数） 附：，，． 15. 已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则________． 16. 已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 __________ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． （1）求角的值； （2）求面积的取值范围． 18. 设为数列的前项和，已知，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围． 19. 甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%． （1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差； （2）现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率． 20. 如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，．现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2）），且满足平面平面． （1）证明：平